初级微积分示例

$f (x) = \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- x^{3} + 8}$ 无定义。

$x = 2$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 4$

$m = 3$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 5.1

化简表达式。

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解题步骤 5.1.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1.1

将 $- x^{3}$ 重写为 ${(- x)}^{3}$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 8}$

解题步骤 5.1.1.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{{(- x)}^{3} + 2^{3}}$

解题步骤 5.1.1.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = - x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

解题步骤 5.1.1.4

化简。

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解题步骤 5.1.1.4.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

解题步骤 5.1.1.4.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (1 x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

解题步骤 5.1.1.4.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} - - x \cdot 2 + 2^{2})}$

解题步骤 5.1.1.4.4

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 5.1.1.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 1 x \cdot 2 + 2^{2})}$

解题步骤 5.1.1.4.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}$

解题步骤 5.1.1.4.5

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}$

解题步骤 5.1.1.4.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- x + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.1.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1.2.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) + 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(- (x) - 1 (- 2)) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.1.2.3

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.1.2.4

重写负数。

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解题步骤 5.1.2.4.1

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$\frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{- 1 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.1.2.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 x^{4} - 2 x + 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.2

展开 $- (3 x^{4} - 2 x + 1)$ 。

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解题步骤 5.2.1

对 $3 x^{4} - 2 x + 1$ 取反。

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x + 1)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{- (3 x^{4} - 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{- (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.2.4

去掉圆括号。

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.2.5

去掉圆括号。

$\frac{- 1 \cdot (3 x^{4}) + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.2.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.2.7

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1 \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.3

展开 $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ 。

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解题步骤 5.3.1

运用分配律。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x + 4) - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.3.2

运用分配律。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.3.3

运用分配律。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x + 4)}$

解题步骤 5.3.4

运用分配律。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 (x^{2} + 2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.5

运用分配律。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.6

去掉圆括号。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot (2 x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.7

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 4 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.8

将 $x$ 和 $4$ 重新排序。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.9

去掉圆括号。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 \cdot (x \cdot x) + 4 \cdot x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.10

将 $2$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{1 + 2} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.13

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x \cdot x + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{1 + 1} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 2 \cdot (2 x) - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.18

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot 4}$

解题步骤 5.3.19

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 2 x^{2} - 4 x - 8}$

解题步骤 5.3.20

移动 $4 x$ 。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 8}$

解题步骤 5.3.21

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 + 4 x - 4 x - 8}$

解题步骤 5.3.22

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 4 x - 4 x - 8}$

解题步骤 5.3.23

从 $4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} + 0 - 8}$

解题步骤 5.3.24

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3 x^{4} + 2 x - 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 5.4

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

解题步骤 5.5

将被除数中的最高阶项 $- 3 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{3}$ 。

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

解题步骤 5.6

将新的商式项乘以除数。

$3 x$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$3 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$3 x^{4}$

$0$

$24 x$

解题步骤 5.7

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x^{4} + 0 + 0 + 24 x$ 中的所有符号

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$

解题步骤 5.8

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$

解题步骤 5.9

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

							-	$3 x$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$8$	-	$3 x^{4}$	+	$0 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							+	$3 x^{4}$	-	$0$	-	$0$	-	$24 x$
													-	$22 x$	-	$1$

解题步骤 5.10

最终答案为商加上余数除以除数。

$- 3 x + \frac{- 22 x - 1}{x^{3} - 8}$

解题步骤 5.11

将解分解成多项式部分和余项。

$- 3 x + \frac{22 x + 1}{- x^{3} + 8}$

解题步骤 5.12

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = - 3 x$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 2$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = - 3 x$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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