初级微积分示例

Given that $f (x) = x^{2} + x$ and $g (x) = 3 x + 1$ ; find the value of $f (g (4))$

解题步骤 1

建立复合结果函数。

$f (g (x))$

解题步骤 2

通过将 $g$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (3 x + 1)$ 。

$f (3 x + 1) = {(3 x + 1)}^{2} + 3 x + 1$

解题步骤 3

去掉圆括号。

$f (3 x + 1) = {(3 x + 1)}^{2} + 3 x + 1$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(3 x + 1)}^{2}$ 重写为 $(3 x + 1) (3 x + 1)$ 。

$f (3 x + 1) = (3 x + 1) (3 x + 1) + 3 x + 1$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 x + 1) (3 x + 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$f (3 x + 1) = 3 x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1) + 3 x + 1$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$f (3 x + 1) = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x + 1) + 3 x + 1$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$f (3 x + 1) = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f (3 x + 1) = 3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

解题步骤 4.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$f (3 x + 1) = 3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (3 x + 1) = 3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

解题步骤 4.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

解题步骤 4.3.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 3 x + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

解题步骤 4.3.1.5

将 $3 x$ 乘以 $1$ 。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 \cdot 1 + 3 x + 1$

解题步骤 4.3.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 + 3 x + 1$

解题步骤 4.3.2

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 6 x + 1 + 3 x + 1$

解题步骤 5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.1

将 $6 x$ 和 $3 x$ 相加。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 9 x + 1 + 1$

解题步骤 5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (3 x + 1) = 9 x^{2} + 9 x + 2$

解题步骤 6

将函数中的 $x$ 替换为 $4$ 来计算最终的函数。

$9 {(4)}^{2} + 9 (4) + 2$

解题步骤 7

化简评价函数。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 \cdot 16 + 9 (4) + 2$

解题步骤 7.1.2

将 $9$ 乘以 $16$ 。

$144 + 9 (4) + 2$

解题步骤 7.1.3

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$144 + 36 + 2$

解题步骤 7.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $144$ 和 $36$ 相加。

$180 + 2$

解题步骤 7.2.2

将 $180$ 和 $2$ 相加。

$182$

初级微积分 示例

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