初级微积分示例

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$ 写为等式。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} - 7}{5}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{\sqrt[3]{y} - 7}{5} = x$ 。

$\frac{\sqrt[3]{y} - 7}{5} = x$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $5$ 。

$5 \frac{\sqrt[3]{y} - 7}{5} = 5 x$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$5 \frac{\sqrt[3]{y} - 7}{5} = 5 x$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$\sqrt[3]{y} - 7 = 5 x$

解题步骤 3.4

在等式两边都加上 $7$ 。

$\sqrt[3]{y} = 5 x + 7$

解题步骤 3.5

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(5 x + 7)}^{3}$

解题步骤 3.6

化简方程的两边。

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解题步骤 3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{3}}$ 。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(5 x + 7)}^{3}$

解题步骤 3.6.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.1

化简 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(5 x + 7)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(5 x + 7)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(5 x + 7)}^{3}$

解题步骤 3.6.2.1.2

化简。

$y = {(5 x + 7)}^{3}$

解题步骤 3.6.3

化简右边。

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解题步骤 3.6.3.1

化简 ${(5 x + 7)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.1

使用二项式定理。

$y = {(5 x)}^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot 7 + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

解题步骤 3.6.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.6.3.1.2.1

对 $5 x$ 运用乘积法则。

$y = 5^{3} x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot 7 + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

解题步骤 3.6.3.1.2.2

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 125 x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot 7 + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

解题步骤 3.6.3.1.2.3

对 $5 x$ 运用乘积法则。

$y = 125 x^{3} + 3 (5^{2} x^{2}) \cdot 7 + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

解题步骤 3.6.3.1.2.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 125 x^{3} + 3 (25 x^{2}) \cdot 7 + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

解题步骤 3.6.3.1.2.5

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$y = 125 x^{3} + 75 x^{2} \cdot 7 + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

解题步骤 3.6.3.1.2.6

将 $7$ 乘以 $75$ 。

$y = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 3 (5 x) \cdot 7^{2} + 7^{3}$

解题步骤 3.6.3.1.2.7

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$y = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 15 x \cdot 7^{2} + 7^{3}$

解题步骤 3.6.3.1.2.8

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 15 x \cdot 49 + 7^{3}$

解题步骤 3.6.3.1.2.9

将 $49$ 乘以 $15$ 。

$y = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 7^{3}$

解题步骤 3.6.3.1.2.10

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343$ 是否为 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = 125 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = 125 (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{3}}{5^{3}}) + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.2

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = 125 (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{3}}{125}) + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.3

约去 $125$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = 125 (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{3}}{125}) + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.3.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = {(\sqrt[3]{x} - 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.4

使用二项式定理。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.5

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.5.1

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.5.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.5.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.5.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.5.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.5.1.4.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.5.1.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.5.1.5

化简。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.5.2

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot - 7 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.5.3

将 $- 7$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.5.4

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 49 + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.5.5

将 $49$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} + {(- 7)}^{3} + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.5.6

对 $- 7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 525 {(\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.6

对 $\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 525 (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{2}}{5^{2}}) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.7

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 525 (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{2}}{25}) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.8

约去 $25$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.8.1

从 $525$ 中分解出因数 $25$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 25 (21) (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{2}}{25}) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.8.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 25 \cdot (21 (\frac{{(\sqrt[3]{x} - 7)}^{2}}{25})) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.8.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 {(\sqrt[3]{x} - 7)}^{2} + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.9

将 ${(\sqrt[3]{x} - 7)}^{2}$ 重写为 $(\sqrt[3]{x} - 7) (\sqrt[3]{x} - 7)$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 ((\sqrt[3]{x} - 7) (\sqrt[3]{x} - 7)) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.10

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt[3]{x} - 7) (\sqrt[3]{x} - 7)$ 。

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解题步骤 5.2.3.10.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} - 7) - 7 (\sqrt[3]{x} - 7)) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.10.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 7 - 7 (\sqrt[3]{x} - 7)) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.10.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 7 - 7 \sqrt[3]{x} - 7 \cdot - 7) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.11.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.11.1.1

乘以 $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ 。

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解题步骤 5.2.3.11.1.1.1

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 5.2.3.11.1.1.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 5.2.3.11.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot - 7 - 7 \sqrt[3]{x} - 7 \cdot - 7) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.11.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot - 7 - 7 \sqrt[3]{x} - 7 \cdot - 7) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.11.1.2

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot - 7 - 7 \sqrt[3]{x} - 7 \cdot - 7) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.11.1.3

将 $- 7$ 移到 $\sqrt[3]{x}$ 的左侧。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x^{2}} - 7 \cdot \sqrt[3]{x} - 7 \sqrt[3]{x} - 7 \cdot - 7) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.11.1.4

将 $- 7$ 乘以 $- 7$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x^{2}} - 7 \sqrt[3]{x} - 7 \sqrt[3]{x} + 49) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.11.2

从 $- 7 \sqrt[3]{x}$ 中减去 $7 \sqrt[3]{x}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 (\sqrt[3]{x^{2}} - 14 \sqrt[3]{x} + 49) + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.12

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 21 (- 14 \sqrt[3]{x}) + 21 \cdot 49 + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.13

化简。

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解题步骤 5.2.3.13.1

将 $- 14$ 乘以 $21$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 21 \cdot 49 + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.13.2

将 $21$ 乘以 $49$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 735 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.14

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.14.1

从 $735$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 5 (147) (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) + 343$

解题步骤 5.2.3.14.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 5 \cdot (147 (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5})) + 343$

解题步骤 5.2.3.14.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 147 (\sqrt[3]{x} - 7) + 343$

解题步骤 5.2.3.15

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 147 \sqrt[3]{x} + 147 \cdot - 7 + 343$

解题步骤 5.2.3.16

将 $147$ 乘以 $- 7$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 147 \sqrt[3]{x} - 1029 + 343$

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

合并 $x - 21 \sqrt[3]{x^{2}} + 147 \sqrt[3]{x} - 343 + 21 \sqrt[3]{x^{2}} - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 147 \sqrt[3]{x} - 1029 + 343$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

将 $- 21 \sqrt[3]{x^{2}}$ 和 $21 \sqrt[3]{x^{2}}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 0 + 147 \sqrt[3]{x} - 343 - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 147 \sqrt[3]{x} - 1029 + 343$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 147 \sqrt[3]{x} - 343 - 294 \sqrt[3]{x} + 1029 + 147 \sqrt[3]{x} - 1029 + 343$

解题步骤 5.2.4.1.3

从 $1029$ 中减去 $1029$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 147 \sqrt[3]{x} - 343 - 294 \sqrt[3]{x} + 0 + 147 \sqrt[3]{x} + 343$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $x + 147 \sqrt[3]{x} - 343 - 294 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 147 \sqrt[3]{x} - 343 - 294 \sqrt[3]{x} + 147 \sqrt[3]{x} + 343$

解题步骤 5.2.4.1.5

将 $- 343$ 和 $343$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 147 \sqrt[3]{x} + 0 - 294 \sqrt[3]{x} + 147 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.1.6

将 $x + 147 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 147 \sqrt[3]{x} - 294 \sqrt[3]{x} + 147 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.2

从 $147 \sqrt[3]{x}$ 中减去 $294 \sqrt[3]{x}$ 。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x - 147 \sqrt[3]{x} + 147 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.3

合并 $x - 147 \sqrt[3]{x} + 147 \sqrt[3]{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- 147 \sqrt[3]{x}$ 和 $147 \sqrt[3]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343)$ 。

$f (125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343} - 7}{5}$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343$ 为 $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x} - 7}{5}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 125 x^{3} + 525 x^{2} + 735 x + 343$

初级微积分 示例

初级微积分示例