初级微积分示例

vertices at $(6, 0)$ , $(- 6, 0)$ ; foci at $(8, 0)$ , $(- 8, 0)$

解题步骤 1

通过求给定顶点的中点来求中心 $(h, k)$ 。

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解题步骤 1.1

使用中点公式求线段中点

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

解题步骤 1.2

代入 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 的值。

$(\frac{- 6 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

解题步骤 1.3

约去 $- 6 + 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{2 \cdot - 3 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

解题步骤 1.3.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{2 \cdot - 3 + 2 \cdot 3}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

解题步骤 1.3.3

从 $2 \cdot - 3 + 2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2}, \frac{0 + 0}{2})$

解题步骤 1.3.4

约去公因数。

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解题步骤 1.3.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2 (1)}, \frac{0 + 0}{2})$

解题步骤 1.3.4.2

约去公因数。

$(\frac{2 \cdot (- 3 + 3)}{2 \cdot 1}, \frac{0 + 0}{2})$

解题步骤 1.3.4.3

重写表达式。

$(\frac{- 3 + 3}{1}, \frac{0 + 0}{2})$

解题步骤 1.3.4.4

用 $- 3 + 3$ 除以 $1$ 。

$(- 3 + 3, \frac{0 + 0}{2})$

解题步骤 1.4

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$(0, \frac{0 + 0}{2})$

解题步骤 1.5

约去 $0 + 0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$(0, \frac{2 (0) + 0}{2})$

解题步骤 1.5.2

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$(0, \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{2})$

解题步骤 1.5.3

从 $2 \cdot 0 + 2 \cdot 0$ 中分解出因数 $2$ 。

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2})$

解题步骤 1.5.4

约去公因数。

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解题步骤 1.5.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 (1)})$

解题步骤 1.5.4.2

约去公因数。

$(0, \frac{2 \cdot (0 + 0)}{2 \cdot 1})$

解题步骤 1.5.4.3

重写表达式。

$(0, \frac{0 + 0}{1})$

解题步骤 1.5.4.4

用 $0 + 0$ 除以 $1$ 。

$(0, 0 + 0)$

解题步骤 1.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$(0, 0)$

解题步骤 2

画出中心及给定的焦点和顶点。因为这些点水平排列，所以双曲线向左右两侧开口，且双曲线公式为 $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ 。

解题步骤 3

通过求顶点到中心点的距离来求 $a$ 。

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解题步骤 3.1

使用距离公式确定两点之间的距离。

$距离 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将点的实际值代入距离公式中。

$a = \sqrt{{((- 6) - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

从 $- 6$ 中减去 $0$ 。

$a = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{36 + {(0 - 0)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $0$ 中减去 $0$ 。

$a = \sqrt{36 + 0^{2}}$

解题步骤 3.3.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$a = \sqrt{36 + 0}$

解题步骤 3.3.5

将 $36$ 和 $0$ 相加。

$a = \sqrt{36}$

解题步骤 3.3.6

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$a = \sqrt{6^{2}}$

解题步骤 3.3.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = 6$

解题步骤 4

通过求焦点和中心点之间的距离来求 $c$ 。

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解题步骤 4.1

使用距离公式确定两点之间的距离。

$距离 = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

解题步骤 4.2

将点的实际值代入距离公式中。

$c = \sqrt{{((- 8) - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

从 $- 8$ 中减去 $0$ 。

$c = \sqrt{{(- 8)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{64 + {(0 - 0)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

从 $0$ 中减去 $0$ 。

$c = \sqrt{64 + 0^{2}}$

解题步骤 4.3.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$c = \sqrt{64 + 0}$

解题步骤 4.3.5

将 $64$ 和 $0$ 相加。

$c = \sqrt{64}$

解题步骤 4.3.6

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$c = \sqrt{8^{2}}$

解题步骤 4.3.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$c = 8$

解题步骤 5

将 $a$ 和 $c$ 的值代入 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，并求解 $b^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $8$ 代入 $c$ ， $6$ 代入 $a$ 。

$8^{2} = 6^{2} + b^{2}$

解题步骤 5.2

将方程重写为 $6^{2} + b^{2} = 8^{2}$ 。

$6^{2} + b^{2} = 8^{2}$

解题步骤 5.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$36 + b^{2} = 8^{2}$

解题步骤 5.4

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$36 + b^{2} = 64$

解题步骤 5.5

将所有不包含 $b^{2}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.5.1

从等式两边同时减去 $36$ 。

$b^{2} = 64 - 36$

解题步骤 5.5.2

从 $64$ 中减去 $36$ 。

$b^{2} = 28$

解题步骤 6

将求得的值代入公式中并化简。

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解题步骤 6.1

将求得的值代入公式中。

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28} = 1$

解题步骤 6.2

合并 $\frac{{(x + 0)}^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.2.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{{(y + 0)}^{2}}{28} = 1$

解题步骤 6.2.2

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2}}{6^{2}} - \frac{y^{2}}{28} = 1$

解题步骤 6.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{28} = 1$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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