初级微积分示例

$f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ 写为等式。

$y = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = {(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

化简 ${(\frac{\sqrt[3]{y}}{4})}^{7}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

对 $\frac{\sqrt[3]{y}}{4}$ 运用乘积法则。

$x = \frac{{\sqrt[3]{y}}^{7}}{4^{7}}$

解题步骤 3.1.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

将 ${\sqrt[3]{y}}^{7}$ 重写为 $\sqrt[3]{y^{7}}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{7}}}{4^{7}}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $y^{7}$ 重写为 ${(y^{2})}^{3} y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.2.1

因式分解出 $y^{6}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{6} y}}{4^{7}}$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $y^{6}$ 重写为 ${(y^{2})}^{3}$ 。

$x = \frac{\sqrt[3]{{(y^{2})}^{3} y}}{4^{7}}$

解题步骤 3.1.2.3

从根式下提出各项。

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{4^{7}}$

解题步骤 3.1.3

对 $4$ 进行 $7$ 次方运算。

$x = \frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384}$

解题步骤 3.2

将方程重写为 $\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$ 。

$\frac{y^{2} \sqrt[3]{y}}{16384} = x$

解题步骤 3.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = x$

解题步骤 3.4

等式两边同时乘以 $16384$ 。

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

解题步骤 3.5

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

化简 $16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1.1

约去 $16384$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1.1.1

约去公因数。

$16384 \frac{y^{2} y^{\frac{1}{3}}}{16384} = 16384 x$

解题步骤 3.5.1.1.2

重写表达式。

$y^{2} y^{\frac{1}{3}} = 16384 x$

解题步骤 3.5.1.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y^{2 + \frac{1}{3}} = 16384 x$

解题步骤 3.5.1.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

解题步骤 3.5.1.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}} = 16384 x$

解题步骤 3.5.1.2.4

在公分母上合并分子。

$y^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}} = 16384 x$

解题步骤 3.5.1.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1.2.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y^{\frac{6 + 1}{3}} = 16384 x$

解题步骤 3.5.1.2.5.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$y^{\frac{7}{3}} = 16384 x$

解题步骤 3.6

将方程两边同时进行 $\frac{3}{7}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 3.7

化简指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1.1

化简 ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1.1.1

将 ${(y^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 3.7.1.1.1.2

约去 $7$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 3.7.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 3.7.1.1.1.3

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1.1.1.3.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 3.7.1.1.1.3.2

重写表达式。

$y^{1} = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 3.7.1.1.2

化简。

$y = {(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 3.7.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1

化简 ${(16384 x)}^{\frac{3}{7}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1.1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1.1.1

对 $16384 x$ 运用乘积法则。

$y = 16384^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 3.7.2.1.1.2

将 $16384$ 重写为 $4^{7}$ 。

$y = {(4^{7})}^{\frac{3}{7}} x^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 3.7.2.1.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 3.7.2.1.2

约去 $7$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1.2.1

约去公因数。

$y = 4^{7 (\frac{3}{7})} x^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 3.7.2.1.2.2

重写表达式。

$y = 4^{3} x^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 3.7.2.1.3

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 64 x^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ 是否为 $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$

解题步骤 5.2.3

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

将 ${({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7})}^{\frac{3}{7}}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

解题步骤 5.2.3.1.2

约去 $7$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7 (\frac{3}{7})}$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{3}$

解题步骤 5.2.3.2

对 $\frac{\sqrt[3]{x}}{4}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{4^{3}})$

解题步骤 5.2.4

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{4^{3}})$

解题步骤 5.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{4^{3}})$

解题步骤 5.2.4.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

解题步骤 5.2.4.4

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{4^{3}})$

解题步骤 5.2.4.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

解题步骤 5.2.4.5

化简。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{4^{3}})$

解题步骤 5.2.5

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

解题步骤 5.2.6

约去 $64$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.6.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = 64 (\frac{x}{64})$

解题步骤 5.2.6.2

重写表达式。

$f^{- 1} ({(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (64 x^{\frac{3}{7}})$ 。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{64 x^{\frac{3}{7}}}}{4})}^{7}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

将 $64 x^{\frac{3}{7}}$ 重写为 ${(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}$ 。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{\sqrt[3]{{(4 x^{\frac{1}{7}})}^{3}}}{4})}^{7}$

解题步骤 5.3.3.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

解题步骤 5.3.4

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(\frac{4 x^{\frac{1}{7}}}{4})}^{7}$

解题步骤 5.3.4.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.2.1

用 $x^{\frac{1}{7}}$ 除以 $1$ 。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = {(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$

解题步骤 5.3.4.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

解题步骤 5.3.4.2.2.2

约去 $7$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.2.2.2.1

约去公因数。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x^{\frac{1}{7} \cdot 7}$

解题步骤 5.3.4.2.2.2.2

重写表达式。

$f (64 x^{\frac{3}{7}}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$ 为 $f (x) = {(\frac{\sqrt[3]{x}}{4})}^{7}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 64 x^{\frac{3}{7}}$

初级微积分 示例

初级微积分示例