初级微积分示例

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y - 400 = 0$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $400$ 。

$- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$

解题步骤 1.2

对 $- 25 x^{2} + 200 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 25$

$b = 200$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{200}{2 \cdot - 25}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $200$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $200$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 25$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 (- 25)}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 100}{2 \cdot - 25}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{100}{- 25}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去 $100$ 和 $- 25$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

从 $100$ 中分解出因数 $25$ 。

$d = \frac{25 (4)}{- 25}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

移动 $\frac{4}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 4$

解题步骤 1.2.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$d = - 4$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{200^{2}}{4 \cdot - 25}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $200$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{40000}{4 \cdot - 25}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 25$ 。

$e = 0 - \frac{40000}{- 100}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $40000$ 除以 $- 100$ 。

$e = 0 - - 400$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 400$ 。

$e = 0 + 400$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $0$ 和 $400$ 相加。

$e = 400$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ 。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$

解题步骤 1.3

在方程 $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ 中，用 $- 25 {(x - 4)}^{2} + 400$ 代替 $- 25 x^{2} + 200 x$ 。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 400 + 9 y^{2} - 90 y = 400$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $400$ 的方法来将 $400$ 移到等式右边。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 y^{2} - 90 y = 400 - 400$

解题步骤 1.5

对 $9 y^{2} - 90 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 9$

$b = - 90$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 90}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $- 90$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

从 $- 90$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 9$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 (9)}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 45}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 45}{9}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去 $- 45$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

从 $- 45$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 (1)}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{9 \cdot - 5}{9 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 5}{1}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2.4

用 $- 5$ 除以 $1$ 。

$d = - 5$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 90)}^{2}}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

对 $- 90$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{8100}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - \frac{8100}{36}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

用 $8100$ 除以 $36$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 225$

解题步骤 1.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $225$ 。

$e = 0 - 225$

解题步骤 1.5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $225$ 。

$e = - 225$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ 。

$9 {(y - 5)}^{2} - 225$

解题步骤 1.6

在方程 $- 25 x^{2} + 200 x + 9 y^{2} - 90 y = 400$ 中，用 $9 {(y - 5)}^{2} - 225$ 代替 $9 y^{2} - 90 y$ 。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} - 225 = 400 - 400$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $225$ 的方法来将 $- 225$ 移到等式右边。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 400 - 400 + 225$

解题步骤 1.8

化简 $400 - 400 + 225$ 。

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解题步骤 1.8.1

从 $400$ 中减去 $400$ 。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 0 + 225$

解题步骤 1.8.2

将 $0$ 和 $225$ 相加。

$- 25 {(x - 4)}^{2} + 9 {(y - 5)}^{2} = 225$

解题步骤 1.9

将每一项除以 $225$ 以使方程右边等于一。

$- \frac{25 {(x - 4)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y - 5)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

解题步骤 1.10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线渐近线的值。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 5$

$b = 3$

$k = 5$

$h = 4$

解题步骤 4

因为双曲线为上下开口，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 形式。

$y = \pm \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

解题步骤 5

化简求第一条渐近线。

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解题步骤 5.1

去掉圆括号。

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

解题步骤 5.2

化简 $\frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ 。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

解题步骤 5.2.1.2

运用分配律。

$y = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

解题步骤 5.2.1.3

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

解题步骤 5.2.1.4

乘以 $\frac{5}{3} \cdot - 4$ 。

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解题步骤 5.2.1.4.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $- 4$ 。

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{5 \cdot - 4}{3} + 5$

解题步骤 5.2.1.4.2

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20}{3} + 5$

解题步骤 5.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 5.2.2

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 5 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.5

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 20 + 15}{3}$

解题步骤 5.2.5.2

将 $- 20$ 和 $15$ 相加。

$y = \frac{5 x}{3} + \frac{- 5}{3}$

解题步骤 5.2.6

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$

解题步骤 6

化简求第二条渐近线。

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解题步骤 6.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$

解题步骤 6.2

化简 $- \frac{5}{3} \cdot (x - (4)) + 5$ 。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4) + 5$

解题步骤 6.2.1.2

运用分配律。

$y = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

解题步骤 6.2.1.3

组合 $x$ 和 $\frac{5}{3}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4 + 5$

解题步骤 6.2.1.4

乘以 $- \frac{5}{3} \cdot - 4$ 。

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解题步骤 6.2.1.4.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3}) + 5$

解题步骤 6.2.1.4.2

组合 $4$ 和 $\frac{5}{3}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3} + 5$

解题步骤 6.2.1.4.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$y = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 6.2.1.5

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 6.2.2

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 6.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

解题步骤 6.2.4

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 5 \cdot 3}{3}$

解题步骤 6.2.5

化简分子。

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解题步骤 6.2.5.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 15}{3}$

解题步骤 6.2.5.2

将 $20$ 和 $15$ 相加。

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

解题步骤 7

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

解题步骤 8

渐近线是 $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}$ 和 $y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$ 。

渐近线： $y = \frac{5 x}{3} - \frac{5}{3}, y = - \frac{5 x}{3} + \frac{35}{3}$

解题步骤 9

初级微积分 示例

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