初级微积分示例

$\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}} \div \frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - y^{2} = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

在等式两边都加上 $y^{2}$ 。

$x^{2} = y^{2}$

解题步骤 2.2

因为指数相等，所以方程两边指数的底必须相等。

$| x | = | y |$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm | y |$

解题步骤 2.3.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = | y |$

解题步骤 2.3.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - | y |$

解题步骤 2.3.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

$x = | y |$

$x = - | y |$

解题步骤 3

将 $\frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2 y$ 和 $c = y^{2}$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ 重写为 ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = - 2 y$ 和 $b = 2 \cdot 1 y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3

化简。

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解题步骤 4.3.1.3.1

从 $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.1.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3.1.2

从 $2 \cdot 1 y$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3.1.3

从 $2 y (- 1) + 2 y (1)$ 中分解出因数 $2 y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3.2

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3.3

合并指数。

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解题步骤 4.3.1.3.3.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3.3.2

将 $0$ 乘以 $y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3.4

从 $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.4.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3.4.2

从 $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3.4.3

从 $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ 中分解出因数 $y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3.5

乘以 $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3.5.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3.6

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3.7

合并指数。

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解题步骤 4.3.1.3.7.1

将 $0$ 乘以 $y$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.3.7.2

将 $0$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.4

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.1.6

$2 y$ 加或减 $0$ 是 $2 y$ 。

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 y}{2}$

解题步骤 4.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1

约去公因数。

$x = \frac{2 y}{2}$

解题步骤 4.3.3.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$x = y$

解题步骤 4.4

最终答案为两个解的组合。

$x = y$ 的二重根

解题步骤 5

将 $\frac{3 x + 6 y}{x^{2} - y^{2}} \div \frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\frac{5 x + 10 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2}} = 0$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将分子设为等于零。

$5 x + 10 y = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $10 y$ 。

$5 x = - 10 y$

解题步骤 6.2.2

将 $5 x = - 10 y$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $5 x = - 10 y$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10 y}{5}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10 y}{5}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 10 y}{5}$

解题步骤 6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.3.1

约去 $- 10$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.3.1.1

从 $- 10 y$ 中分解出因数 $5$ 。

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5}$

解题步骤 6.2.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.3.1.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5 (1)}$

解题步骤 6.2.2.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{5 (- 2 y)}{5 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.2.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{- 2 y}{1}$

解题步骤 6.2.2.3.1.2.4

用 $- 2 y$ 除以 $1$ 。

$x = - 2 y$

解题步骤 7

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

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