初级微积分示例

$f (x) = 8 x^{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = 8 x^{3}$ 写为等式。

$y = 8 x^{3}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 8 y^{3}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $8 y^{3} = x$ 。

$8 y^{3} = x$

解题步骤 3.2

将 $8 y^{3} = x$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $8 y^{3} = x$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{x}{8}$

解题步骤 3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8}}$

解题步骤 3.4

化简 $\sqrt[3]{\frac{x}{8}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{x}{8}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{3} x$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

从 $x$ 中因式分解出完全幂数 $1^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{8}}$

解题步骤 3.4.1.2

从 $8$ 中因式分解出完全幂数 $2^{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}}$

解题步骤 3.4.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{3} x}{2^{3} \cdot 1}$ 。

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} x}$

解题步骤 3.4.2

从根式下提出各项。

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x}$

解题步骤 3.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt[3]{x}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 是否为 $f (x) = 8 x^{3}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (8 x^{3})$ 。

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $8 x^{3}$ 重写为 ${(2 x)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (8 x^{3}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (8 x^{3}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2})$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x}}{2})}^{3}$

解题步骤 5.3.3

对 $\frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x}}^{3}}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.4

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.4.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.4.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.4.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.4.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{2^{3}})$

解题步骤 5.3.5

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

解题步骤 5.3.6

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = 8 (\frac{x}{8})$

解题步骤 5.3.6.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{x}}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$ 为 $f (x) = 8 x^{3}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{2}$

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