初级微积分示例

$\frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ 无定义。

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

解题步骤 2

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 2.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.1.2.1.2

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.1.2.2

因为函数 $e^{3 x}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $3$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.2.1

思考去掉常数倍数 $3$ 后的极限。

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.1.2.2.2

因为指数 $3 x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{3 x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{7 + \infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.1.2.3

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.1.3.1.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.1.3.2

因为函数 $e^{3 x}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $8$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1

思考去掉常数倍数 $8$ 后的极限。

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.1.3.2.2

因为指数 $3 x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{3 x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{4 - \infty}$

解题步骤 2.1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.1.3.3.1

非零常数乘以无穷大结果为无穷大。

$\frac{\infty}{4 + - \infty}$

解题步骤 2.1.1.3.3.2

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 2.1.1.3.3.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 2.1.1.3.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 2.1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{- \infty}$

解题步骤 2.1.2

因为 $\frac{\infty}{- \infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.2

根据加法法则， $7 + 3 e^{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.1.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.4.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.4.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.4.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.4.6

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (3 \cdot e^{3 x})}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.4.7

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.5

将 $0$ 和 $9 e^{3 x}$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.6

根据加法法则， $4 - 8 e^{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.7

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.8.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 e^{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

解题步骤 2.1.3.8.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.1.3.8.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}$

解题步骤 2.1.3.8.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}$

解题步骤 2.1.3.8.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}$

解题步骤 2.1.3.8.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}$

解题步骤 2.1.3.8.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}$

解题步骤 2.1.3.8.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \cdot 3)}$

解题步骤 2.1.3.8.6

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (3 \cdot e^{3 x})}$

解题步骤 2.1.3.8.7

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 24 e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.3.9

从 $0$ 中减去 $24 e^{3 x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{- 24 e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.4

简化。

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解题步骤 2.1.4.1

约去 $9$ 和 $- 24$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1.1

从 $9 e^{3 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{- 24 e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.4.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.1.2.1

从 $- 24 e^{3 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

解题步骤 2.1.4.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

解题步骤 2.1.4.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.4.2

约去 $e^{3 x}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

解题步骤 2.1.4.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{- 8}$

解题步骤 2.2

计算极限值。

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解题步骤 2.2.1

计算 $\frac{3}{- 8}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{3}{- 8}$

解题步骤 2.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{8}$

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to - \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

解题步骤 3.1.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

解题步骤 3.1.3

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

解题步骤 3.1.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7 + 3 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

解题步骤 3.2

因为指数 $3 x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{3 x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

解题步骤 3.3

计算极限值。

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解题步骤 3.3.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

解题步骤 3.3.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

解题步骤 3.3.3

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}$

解题步骤 3.4

因为指数 $3 x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{3 x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 \cdot 0}$

解题步骤 3.5

化简答案。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7 + 0}{4 - 8 \cdot 0}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7}{4 - 8 \cdot 0}$

解题步骤 3.5.2

化简分母。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7}{4 + 0}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7}{4}$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

解题步骤 5

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

水平渐近线： $y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

不存在斜渐近线

解题步骤 7

初级微积分 示例

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