初级微积分示例

$f (x) = x^{3} + x^{7} - x^{9}$

解题步骤 1

求 $f (- x)$ 。

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解题步骤 1.1

通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = {(- x)}^{3} + {(- x)}^{7} - {(- x)}^{9}$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} + {(- x)}^{7} - {(- x)}^{9}$

解题步骤 1.2.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- x) = - x^{3} + {(- x)}^{7} - {(- x)}^{9}$

解题步骤 1.2.3

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - x^{3} + {(- 1)}^{7} x^{7} - {(- x)}^{9}$

解题步骤 1.2.4

对 $- 1$ 进行 $7$ 次方运算。

$f (- x) = - x^{3} - x^{7} - {(- x)}^{9}$

解题步骤 1.2.5

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - x^{3} - x^{7} - ({(- 1)}^{9} x^{9})$

解题步骤 1.2.6

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{9}$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

移动 ${(- 1)}^{9}$ 。

$f (- x) = - x^{3} - x^{7} + {(- 1)}^{9} \cdot (- 1 x^{9})$

解题步骤 1.2.6.2

将 ${(- 1)}^{9}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- x) = - x^{3} - x^{7} + {(- 1)}^{9} \cdot ((- 1) x^{9})$

解题步骤 1.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- x) = - x^{3} - x^{7} + {(- 1)}^{9 + 1} x^{9}$

解题步骤 1.2.6.3

将 $9$ 和 $1$ 相加。

$f (- x) = - x^{3} - x^{7} + {(- 1)}^{10} x^{9}$

解题步骤 1.2.7

对 $- 1$ 进行 $10$ 次方运算。

$f (- x) = - x^{3} - x^{7} + 1 x^{9}$

解题步骤 1.2.8

将 $x^{9}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = - x^{3} - x^{7} + x^{9}$

解题步骤 2

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 2.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 2.2

因为 $- x^{3} - x^{7} + x^{9}$ $\neq$ $x^{3} + x^{7} - x^{9}$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

解题步骤 3

如果一个函数满足 $f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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解题步骤 3.1

求 $- f (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $x^{3} + x^{7} - x^{9}$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - (x^{3} + x^{7} - x^{9})$

解题步骤 3.1.2

运用分配律。

$- f (x) = - x^{3} - x^{7} + x^{9}$

解题步骤 3.2

因为 $- x^{3} - x^{7} + x^{9} = - x^{3} - x^{7} + x^{9}$ ，所以该函数是奇函数。

该函数是奇函数

解题步骤 4

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