初级微积分示例

$f (x) = - x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = - {(x + h)}^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = - (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.2

运用分配律。

$f (x + h) = - x^{3} - (3 x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 (x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 (x^{2} h) - 3 (x h^{2}) - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.4

去掉圆括号。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 {(x + h)}^{2} - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.5

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 ((x + h) (x + h)) - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.6.1

运用分配律。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x (x + h) + h (x + h)) - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.6.2

运用分配律。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.6.3

运用分配律。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.7.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.7.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.7.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.7.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.8

运用分配律。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 24 (2 h x) + 24 h^{2} - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.9

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 (h x) + 24 h^{2} - 179 (x + h) + 495$

解题步骤 2.1.2.1.10

运用分配律。

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $- x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$ 。

$- x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 x h^{2} - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

解题步骤 2.2.2

移动 $x$ 。

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 x - 179 h + 495$

解题步骤 2.2.3

移动 $- 179 x$ 。

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 24 x^{2} + 48 h x + 24 h^{2} - 179 h - 179 x + 495$

解题步骤 2.2.4

移动 $24 x^{2}$ 。

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 48 h x + 24 h^{2} + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

解题步骤 2.2.5

移动 $48 h x$ 。

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

解题步骤 2.2.6

移动 $- x^{3}$ 。

$- 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

解题步骤 2.2.7

移动 $- 3 h x^{2}$ 。

$- 3 h^{2} x - h^{3} - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

解题步骤 2.2.8

将 $- 3 h^{2} x$ 和 $- h^{3}$ 重新排序。

$- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

$f (x) = - x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495$

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495$

$f (x) = - x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 - (- x^{3} + 24 x^{2} - 179 x + 495)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 - - x^{3} - (24 x^{2}) - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

乘以 $- - x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + 1 x^{3} - (24 x^{2}) - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - (24 x^{2}) - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $24$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - 24 x^{2} - (- 179 x) - 1 \cdot 495}{h}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 179$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - 24 x^{2} + 179 x - 1 \cdot 495}{h}$

解题步骤 4.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $495$ 。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + x^{3} - 24 x^{2} + 179 x - 495}{h}$

解题步骤 4.1.3

将 $- x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 + 0 - 24 x^{2} + 179 x - 495}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $- h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x + 24 x^{2} - 179 h - 179 x + 495 - 24 x^{2} + 179 x - 495}{h}$

解题步骤 4.1.5

从 $24 x^{2}$ 中减去 $24 x^{2}$ 。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h - 179 x + 495 + 0 + 179 x - 495}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $- h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h - 179 x + 495 + 179 x - 495}{h}$

解题步骤 4.1.7

将 $- 179 x$ 和 $179 x$ 相加。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h + 0 + 495 - 495}{h}$

解题步骤 4.1.8

将 $- h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h + 495 - 495}{h}$

解题步骤 4.1.9

从 $495$ 中减去 $495$ 。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.10

将 $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

解题步骤 4.1.11

从 $- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.11.1

从 $- h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2}) - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

解题步骤 4.1.11.2

从 $- 3 h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) - 3 h x^{2} + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

解题步骤 4.1.11.3

从 $- 3 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + 24 h^{2} + 48 h x - 179 h}{h}$

解题步骤 4.1.11.4

从 $24 h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + 48 h x - 179 h}{h}$

解题步骤 4.1.11.5

从 $48 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) - 179 h}{h}$

解题步骤 4.1.11.6

从 $- 179 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

解题步骤 4.1.11.7

从 $h (- h^{2}) + h (- 3 h x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

解题步骤 4.1.11.8

从 $h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h (24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

解题步骤 4.1.11.9

从 $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h (24 h)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h) + h (48 x) + h \cdot - 179}{h}$

解题步骤 4.1.11.10

从 $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h) + h (48 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x) + h \cdot - 179}{h}$

解题步骤 4.1.11.11

从 $h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x) + h \cdot - 179$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179$ 除以 $1$ 。

$- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $h$ 。

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 24 h + 48 x - 179$

解题步骤 4.2.2.2

移动 $24 h$ 。

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 48 x + 24 h - 179$

解题步骤 4.2.2.3

移动 $- h^{2}$ 。

$- 3 x h - 3 x^{2} - h^{2} + 48 x + 24 h - 179$

解题步骤 4.2.2.4

将 $- 3 x h$ 和 $- 3 x^{2}$ 重新排序。

$- 3 x^{2} - 3 x h - h^{2} + 48 x + 24 h - 179$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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