初级微积分示例

Find $(g \cdot h) (x)$ if $g (x) = x^{2} + 4 x + 9$ and $h (x) = x^{2} - 5 x + 10$

解题步骤 1

计算 $g \cdot h$ 。

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解题步骤 1.1

使用实际的函数来替换 $g \cdot h$ 中的函数指示符。

$(x^{2} + 4 x + 9) \cdot (x^{2} - 5 x + 10)$

解题步骤 1.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + 4 x + 9) (x^{2} - 5 x + 10)$ 。

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 5 x) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3

化简项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 2} + x^{2} (- 5 x) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + x^{2} (- 5 x) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} - 5 x^{2} x + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.3.1

移动 $x$ 。

$x^{4} - 5 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{4} - 5 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} - 5 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} \cdot 10 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.4

将 $10$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 \cdot x^{2} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 (x^{2} x) + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.5.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{2 + 1} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} + 4 x (- 5 x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot - 5 x \cdot x + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.7.1

移动 $x$ 。

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot - 5 (x \cdot x) + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot - 5 x^{2} + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.8

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} - 20 x^{2} + 4 x \cdot 10 + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.9

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} - 20 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} + 9 (- 5 x) + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.10

将 $- 5$ 乘以 $9$ 。

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} - 20 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} - 45 x + 9 \cdot 10$

解题步骤 1.3.1.11

将 $9$ 乘以 $10$ 。

$x^{4} - 5 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x^{3} - 20 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} - 45 x + 90$

解题步骤 1.3.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $- 5 x^{3}$ 和 $4 x^{3}$ 相加。

$x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 20 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} - 45 x + 90$

解题步骤 1.3.2.2

从 $10 x^{2}$ 中减去 $20 x^{2}$ 。

$x^{4} - x^{3} - 10 x^{2} + 40 x + 9 x^{2} - 45 x + 90$

解题步骤 1.3.2.3

将 $- 10 x^{2}$ 和 $9 x^{2}$ 相加。

$x^{4} - x^{3} - x^{2} + 40 x - 45 x + 90$

解题步骤 1.3.2.4

从 $40 x$ 中减去 $45 x$ 。

$x^{4} - x^{3} - x^{2} - 5 x + 90$

解题步骤 2

计算 $g \cdot h$ 在 $x$ 处的值。

${(x)}^{4} - {(x)}^{3} - {(x)}^{2} - 5 x + 90$

解题步骤 3

化简 ${(x)}^{4} - {(x)}^{3} - {(x)}^{2} - 5 x + 90$ 。

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解题步骤 3.1

去掉圆括号。

${(x)}^{4} - {(x)}^{3} - {(x)}^{2} - 5 x + 90$

解题步骤 3.2

去掉圆括号。

$x^{4} - x^{3} - x^{2} - 5 x + 90$

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