初级微积分示例

$f (x) = \frac{4}{3 x - 1}$ , $x = 1$ , $x = 3$

解题步骤 1

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 1.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

解题步骤 1.2

代入 $f (3)$ 和 $f (1)$ 的方程 $y = \frac{4}{3 x - 1}$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(\frac{4}{3 (3) - 1}) - (\frac{4}{3 (1) - 1})}{(3) - (1)}$

解题步骤 2

化简表达式。

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解题步骤 2.1

将分数的分子和分母乘以 $(3 (3) - 1) (3 (1) - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{\frac{4}{3 (3) - 1} - \frac{4}{3 (1) - 1}}{3 - (1)}$ 乘以 $\frac{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1)}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1)}$ 。

$\frac{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1)}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1)} \cdot \frac{\frac{4}{3 (3) - 1} - \frac{4}{3 (1) - 1}}{3 - (1)}$

解题步骤 2.1.2

合并。

$\frac{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (\frac{4}{3 (3) - 1} - \frac{4}{3 (1) - 1})}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (3 - (1))}$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \frac{4}{3 (3) - 1} + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- \frac{4}{3 (1) - 1})}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 2.3.1

约去 $3 \cdot 3 - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

乘以 $1$ 。

$\frac{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \frac{4}{(3 (3) - 1) \cdot 1} + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- \frac{4}{3 (1) - 1})}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.3.1.2

约去公因数。

解题步骤 2.3.1.3

重写表达式。

$\frac{(3 \cdot 1 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- \frac{4}{3 (1) - 1})}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- \frac{4}{3 (1) - 1})}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.3.3

约去 $3 \cdot 1 - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $- \frac{4}{3 (1) - 1}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \frac{- 4}{3 (1) - 1}}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.3.3.2

从 $(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1)$ 中分解出因数 $3 \cdot 1 - 1$ 。

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 1 - 1) (3 \cdot 3 - 1) \frac{- 4}{3 (1) - 1}}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.3.3.3

乘以 $1$ 。

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 1 - 1) (3 \cdot 3 - 1) \frac{- 4}{(3 (1) - 1) \cdot 1}}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.3.3.4

约去公因数。

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 1 - 1) (3 \cdot 3 - 1) \frac{- 4}{(3 (1) - 1) \cdot 1}}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.3.3.5

重写表达式。

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (3 \cdot 3 - 1) \cdot - 4}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.3.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(3 - 1) \cdot 4 + (9 - 1) \cdot - 4}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.4

化简分子。

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解题步骤 2.4.1

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 \cdot 4 + (9 - 1) \cdot - 4}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8 + (9 - 1) \cdot - 4}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.4.3

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$\frac{8 + 8 \cdot - 4}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.4.4

将 $8$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{8 - 32}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.4.5

从 $8$ 中减去 $32$ 。

$\frac{- 24}{(3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.5

化简分母。

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解题步骤 2.5.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 24}{(9 - 1) (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.5.2

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 24}{8 (3 \cdot 1 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.5.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 24}{8 (3 - 1) \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.5.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 24}{8 \cdot 2 \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.5.5

乘以 $8 \cdot 2 \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.5.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 24}{16 \cdot 3 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.5.5.2

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 24}{48 + (3 \cdot 3 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.5.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 24}{48 + (9 - 1) (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.5.7

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 24}{48 + 8 (3 \cdot 1 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.5.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 24}{48 + 8 (3 - 1) (- (1))}$

解题步骤 2.5.9

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 24}{48 + 8 \cdot 2 (- (1))}$

解题步骤 2.5.10

乘以 $8 \cdot 2 (- (1))$ 。

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解题步骤 2.5.10.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 24}{48 + 16 (- (1))}$

解题步骤 2.5.10.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 24}{48 + 16 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.10.3

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 24}{48 - 16}$

解题步骤 2.5.11

从 $48$ 中减去 $16$ 。

$\frac{- 24}{32}$

解题步骤 2.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

约去 $- 24$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- 3)}{32}$

解题步骤 2.6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.1.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.2.2

约去公因数。

$\frac{8 \cdot - 3}{8 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3}{4}$

解题步骤 2.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{4}$

初级微积分 示例

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