初级微积分示例

$\frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 3

求定义的补集。

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解题步骤 3.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2

最终答案为 $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ 。

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

解题步骤 3.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

解题步骤 5.1.2

将 $\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ 。

$\frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

解题步骤 5.1.3

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x})}^{2}$ 。

$\frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

解题步骤 5.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{1}{x + h}$ 和 $b = \frac{1}{x}$ 。

$\frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

解题步骤 5.1.5

化简。

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解题步骤 5.1.5.1

要将 $\frac{1}{x + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

解题步骤 5.1.5.2

要将 $\frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

解题步骤 5.1.5.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h) x$ 的形式。

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解题步骤 5.1.5.3.1

将 $\frac{1}{x + h}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

解题步骤 5.1.5.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

解题步骤 5.1.5.3.3

重新排序 $(x + h) x$ 的因式。

$\frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

解题步骤 5.1.5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

解题步骤 5.1.5.5

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

解题步骤 5.1.5.6

要将 $\frac{1}{x + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

解题步骤 5.1.5.7

要将 $- \frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

解题步骤 5.1.5.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h) x$ 的形式。

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解题步骤 5.1.5.8.1

将 $\frac{1}{x + h}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

解题步骤 5.1.5.8.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

解题步骤 5.1.5.8.3

重新排序 $(x + h) x$ 的因式。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

解题步骤 5.1.5.9

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 5.1.5.10

以因式分解的形式重写 $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ 。

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解题步骤 5.1.5.10.1

运用分配律。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 5.1.5.10.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 5.1.5.10.3

从 $0$ 中减去 $h$ 。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 5.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot - 1 \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 5.1.7

合并指数。

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解题步骤 5.1.7.1

提取负因数。

$\frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

解题步骤 5.1.7.2

将 $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ 乘以 $\frac{h}{x (x + h)}$ 。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

解题步骤 5.1.7.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x (x + h) (x + h)}}{h}$

解题步骤 5.1.7.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x^{1} (x + h) (x + h)}}{h}$

解题步骤 5.1.7.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

解题步骤 5.1.7.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

解题步骤 5.1.7.7

对 $x + h$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} (x + h))}}{h}$

解题步骤 5.1.7.8

对 $x + h$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} {(x + h)}^{1})}}{h}$

解题步骤 5.1.7.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

解题步骤 5.1.7.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

解题步骤 5.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 5.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 5.3.2

从 $- (2 x + h) h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 5.3.3

约去公因数。

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 5.3.4

重写表达式。

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

解题步骤 5.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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