初级微积分示例

$x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ , $x + 2$

解题步骤 1

对 $\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ 使用综合除法，并检验余式是否等于 $0$ 。如果余式等于 $0$ ，那么 $x + 2$ 是 $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ 的一个因式。如果余式不等于 $0$ ，那么 $x + 2$ 不是 $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ 的一个因式。

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解题步骤 1.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

解题步骤 1.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

	$1$

解题步骤 1.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 2)$ 并将 $(- 2)$ 的结果置于被除数 $(2)$ 的下一项下方。

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$

解题步骤 1.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$	$0$

解题步骤 1.5

将结果 $(0)$ 中的最新项乘以除数 $(- 2)$ 并将 $(0)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$

解题步骤 1.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$	$0$

解题步骤 1.7

将结果 $(0)$ 中的最新项乘以除数 $(- 2)$ 并将 $(0)$ 的结果置于被除数 $(- 8)$ 的下一项下方。

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$

解题步骤 1.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

解题步骤 1.9

将结果 $(- 8)$ 中的最新项乘以除数 $(- 2)$ 并将 $(16)$ 的结果置于被除数 $(- 16)$ 的下一项下方。

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

解题步骤 1.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$	$0$

解题步骤 1.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x - 8$

解题步骤 1.12

化简商多项式。

$x^{3} - 8$

解题步骤 2

除以 $\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ 后余数为 $0$ ，即 $x + 2$ 是 $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ 的一个因数。

$x + 2$ 是 $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ 的一个因式

解题步骤 3

求 $x^{3} - 8$ 的所有可能根。

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解题步骤 3.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

解题步骤 3.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

解题步骤 4

建立下一个除法以判断 $x - 2$ 是否是多项式 $x^{3} - 8$ 的一个因式。

$\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

解题步骤 5

使用综合除法除以表达式以判断它是否为多项式的一个因式。因为 $x - 2$ 可被 $x^{3} - 8$ 整除，所以 $x - 2$ 是该多项式的一个因式且存在 $x^{2} + 2 x + 4$ 的余多项式。

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解题步骤 5.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

解题步骤 5.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

	$1$

解题步骤 5.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(2)$ 并将 $(2)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$

解题步骤 5.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$	$2$

解题步骤 5.5

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(2)$ 并将 $(4)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

解题步骤 5.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$4$

解题步骤 5.7

将结果 $(4)$ 中的最新项乘以除数 $(2)$ 并将 $(8)$ 的结果置于被除数 $(- 8)$ 的下一项下方。

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$

解题步骤 5.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$	$0$

解题步骤 5.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{2} + 2 x + 4$

解题步骤 5.10

化简商多项式。

$x^{2} + 2 x + 4$

解题步骤 6

求 $x^{2} + 2 x + 4$ 的所有可能根。

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解题步骤 6.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

解题步骤 6.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

解题步骤 7

最终因式为综合除法中唯一剩下的因式。

$x^{2} + 2 x + 4$

解题步骤 8

因式分解后的多项式为 $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ 。

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

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