初级微积分示例

$f (x) = 4 x^{\frac{1}{3}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = 4 x^{\frac{1}{3}}$ 写为等式。

$y = 4 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 4 y^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $4 y^{\frac{1}{3}} = x$ 。

$4 y^{\frac{1}{3}} = x$

解题步骤 3.2

将 $4 y^{\frac{1}{3}} = x$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $4 y^{\frac{1}{3}} = x$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{x}{4}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{x}{4}$

解题步骤 3.2.2.2

用 $y^{\frac{1}{3}}$ 除以 $1$ 。

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{4}$

解题步骤 3.3

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

解题步骤 3.4

化简指数。

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解题步骤 3.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

解题步骤 3.4.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

解题步骤 3.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

解题步骤 3.4.1.1.2

化简。

$y = {(\frac{x}{4})}^{3}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(\frac{x}{4})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

对 $\frac{x}{4}$ 运用乘积法则。

$y = \frac{x^{3}}{4^{3}}$

解题步骤 3.4.2.1.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = \frac{x^{3}}{64}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ 是否为 $f (x) = 4 x^{\frac{1}{3}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}})$ 。

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(4 x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{64}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $4 x^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{4^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{64}$

解题步骤 5.2.3.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{64}$

解题步骤 5.2.3.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{64}$

解题步骤 5.2.3.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.3.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{64}$

解题步骤 5.2.3.3.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x}{64}$

解题步骤 5.2.3.4

化简。

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x}{64}$

解题步骤 5.2.4

约去 $64$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x}{64}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{3}}{64})$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 {(\frac{x^{3}}{64})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.3

对 $\frac{x^{3}}{64}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{64^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 5.3.4

化简分子。

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解题步骤 5.3.4.1

将 ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{64^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 5.3.4.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1.2.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{64^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 5.3.4.1.2.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{64^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 5.3.4.2

化简。

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{64^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 5.3.5

化简分母。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{{(4^{3})}^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 5.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4^{3 (\frac{1}{3})}})$

解题步骤 5.3.5.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.3.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4^{3 (\frac{1}{3})}})$

解题步骤 5.3.5.3.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

解题步骤 5.3.5.4

计算指数。

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

解题步骤 5.3.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

解题步骤 5.3.6.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{3}}{64}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ 为 $f (x) = 4 x^{\frac{1}{3}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$

初级微积分 示例

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