初级微积分示例

$f (x) = x^{2} - 6 x + k$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$y - x^{2} = - 6 x + k$

解题步骤 1.1.2

在等式两边都加上 $6 x$ 。

$y - x^{2} + 6 x = k$

解题步骤 1.1.3

从等式两边同时减去 $k$ 。

$y - x^{2} + 6 x - k = 0$

解题步骤 1.1.4

移动 $6 x$ 。

$y - x^{2} - k + 6 x = 0$

解题步骤 1.1.5

移动 $y$ 。

$- x^{2} - k + y + 6 x = 0$

解题步骤 1.2

对 $- x^{2} + 6 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

移动 $\frac{3}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 3$

解题步骤 1.2.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$d = - 3$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $36$ 除以 $- 4$ 。

$e = 0 - - 9$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$e = 0 + 9$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$e = 9$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x - 3)}^{2} + 9$ 。

$- {(x - 3)}^{2} + 9$

解题步骤 1.3

在方程 $- x^{2} - k + y + 6 x = 0$ 中，用 $- {(x - 3)}^{2} + 9$ 代替 $- x^{2} + 6 x$ 。

$- {(x - 3)}^{2} + 9 - k + y = 0$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $9$ 的方法来将 $9$ 移到等式右边。

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = 0 - 9$

解题步骤 1.5

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = - 9$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 1$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 3$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(3, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + 1}$

解题步骤 5.3.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{2}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(3, 1)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $k$ 中减去 $a$ 求得。

$(h, k - a)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(3, - 1)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h, k \pm a)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(3, 1), (3, - 1)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(3, \sqrt{2})$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $k$ 中减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(3, - \sqrt{2})$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

解题步骤 8

求焦点参数。

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解题步骤 8.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 8.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.2

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 8.3.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 8.3.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 8.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 8.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 8.3.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 8.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 8.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 8.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 8.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 8.3.3.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 9

因为双曲线为上下开口，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 形式。

$y = \pm 1 \cdot (x - (3)) + 0$

解题步骤 10

化简求第一条渐近线。

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解题步骤 10.1

去掉圆括号。

$y = 1 \cdot (x - (3)) + 0$

解题步骤 10.2

化简 $1 \cdot (x - (3)) + 0$ 。

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解题步骤 10.2.1

将 $1 \cdot (x - (3))$ 和 $0$ 相加。

$y = 1 \cdot (x - (3))$

解题步骤 10.2.2

将 $x - (3)$ 乘以 $1$ 。

$y = x - (3)$

解题步骤 10.2.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = x - 3$

解题步骤 11

化简求第二条渐近线。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$y = - 1 \cdot (x - (3)) + 0$

解题步骤 11.2

化简 $- 1 \cdot (x - (3)) + 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

化简表达式。

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解题步骤 11.2.1.1

将 $- 1 \cdot (x - (3))$ 和 $0$ 相加。

$y = - 1 \cdot (x - (3))$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = - 1 \cdot (x - 3)$

解题步骤 11.2.2

运用分配律。

$y = - 1 x - 1 \cdot - 3$

解题步骤 11.2.3

化简表达式。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y = - x - 1 \cdot - 3$

解题步骤 11.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$y = - x + 3$

解题步骤 12

该双曲线有两条渐近线。

$y = x - 3, y = - x + 3$

解题步骤 13

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(3, 0)$

顶点： $(3, 1), (3, - 1)$

焦点： $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

离心率： $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

焦点参数： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

渐近线： $y = x - 3$ ， $y = - x + 3$

解题步骤 14

初级微积分 示例

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