初级微积分示例

$f (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2 - x - x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x + 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 1 \geq 0$

解题步骤 2

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$x \geq - 1$

解题步骤 3

将 $\frac{\sqrt{x + 1}}{2 - x - x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 - x - x^{2} = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.1.1

从 $2 - x - x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 4.1.1.1.1

移动 $2$ 。

$- x - x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 4.1.1.1.2

将 $- x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} - x + 2 = 0$

$- x^{2} - x + 2 = 0$

解题步骤 4.1.1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) - x + 2 = 0$

解题步骤 4.1.1.3

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) - (x) + 2 = 0$

解题步骤 4.1.1.4

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 4.1.1.5

从 $- (x^{2}) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 4.1.1.6

从 $- (x^{2} + x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} + x - 2) = 0$

$- (x^{2} + x - 2) = 0$

解题步骤 4.1.2

因数。

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解题步骤 4.1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 4.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((x - 1) (x + 2)) = 0$

$- ((x - 1) (x + 2)) = 0$

解题步骤 4.1.2.2

去掉多余的括号。

$- (x - 1) (x + 2) = 0$

$- (x - 1) (x + 2) = 0$

$- (x - 1) (x + 2) = 0$

解题步骤 4.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 4.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

$x = 1$

解题步骤 4.4

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

$x = - 2$

解题步骤 4.5

最终解为使 $- (x - 1) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 2$

$x = 1, - 2$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- 1, 1) \cup (1, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq - 1, x \neq 1}$

解题步骤 6

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$