初级微积分示例

$\frac{x^{2} - 9}{y^{2} - 25} \div \frac{2 x^{2} - 6 x}{3 y^{2} - 15 y} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{2} - 9}{y^{2} - 25}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$y^{2} - 25 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

在等式两边都加上 $25$ 。

$y^{2} = 25$

解题步骤 2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{25}$

解题步骤 2.3

化简 $\pm \sqrt{25}$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \pm 5$

解题步骤 2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = 5$

解题步骤 2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - 5$

解题步骤 2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = 5, - 5$

解题步骤 3

将 $\frac{2 x^{2} - 6 x}{3 y^{2} - 15 y}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 y^{2} - 15 y = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

从 $3 y^{2} - 15 y$ 中分解出因数 $3 y$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $3 y^{2}$ 中分解出因数 $3 y$ 。

$3 y (y) - 15 y = 0$

解题步骤 4.1.2

从 $- 15 y$ 中分解出因数 $3 y$ 。

$3 y (y) + 3 y (- 5) = 0$

解题步骤 4.1.3

从 $3 y (y) + 3 y (- 5)$ 中分解出因数 $3 y$ 。

$3 y (y - 5) = 0$

解题步骤 4.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y = 0$

$y - 5 = 0$

解题步骤 4.3

将 $y$ 设为等于 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 4.4

将 $y - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $y - 5$ 设为等于 $0$ 。

$y - 5 = 0$

解题步骤 4.4.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$y = 5$

解题步骤 4.5

最终解为使 $3 y (y - 5) = 0$ 成立的所有值。

$y = 0, 5$

解题步骤 5

将 $\frac{x^{2} - 9}{y^{2} - 25} \div \frac{2 x^{2} - 6 x}{3 y^{2} - 15 y}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\frac{2 x^{2} - 6 x}{3 y^{2} - 15 y} = 0$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将分子设为等于零。

$2 x^{2} - 6 x = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.2.1

从 $2 x^{2} - 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (x) - 6 x = 0$

解题步骤 6.2.1.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (x) + 2 x (- 3) = 0$

解题步骤 6.2.1.3

从 $2 x (x) + 2 x (- 3)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (x - 3) = 0$

解题步骤 6.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 6.2.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.2.4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 6.2.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 6.2.5

最终解为使 $2 x (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3$

解题步骤 7

将 $\frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$y + 5 = 0$

解题步骤 8

从等式两边同时减去 $5$ 。

$y = - 5$

解题步骤 9

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 5) \cup (5, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0, 3, 5, - 5}$

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