初级微积分示例

y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 3 x - 4}

$y = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 3 x - 4}$

解题步骤 1

求在何处表达式

\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 3 x - 4}

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 3 x - 4}$ 无定义。

x = - 1, x = 4

$x = - 1, x = 4$

解题步骤 2

由于从左侧，当

x

$x$

\to

$\to$

4

$4$ 时，

\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 3 x - 4}

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 3 x - 4}$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ ，且从右侧，当

x

$x$

\to

$\to$

4

$4$ 时，

\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 3 x - 4}

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2} - 3 x - 4}$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ ，因此

x = 4

$x = 4$ 是一条垂直渐近线。

x = 4

$x = 4$

解题步骤 3

思考一下有理函数

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中

n

$n$ 是分子的幂，

m

$m$ 是分母的幂。

1. 如果

n < m

$n < m$ ，那么 X 轴，即

y = 0

$y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果

n = m

$n = m$ ，那么水平渐近线为直线

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果

n > m

$n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求

n

$n$ 和

m

$m$ 。

n = 2

$n = 2$

m = 2

$m = 2$

解题步骤 5

因为

n = m

$n = m$ ，所以水平渐近线就是在

a = 1

$a = 1$ 和

b = 1

$b = 1$ 上的直线

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ 。

y = 1

$y = 1$

解题步骤 6

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线：

x = 4

$x = 4$

水平渐近线：

y = 1

$y = 1$

不存在斜渐近线

解题步骤 8

[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$