初级微积分示例

$\frac{a^{2} - 4}{x^{2} - 9} \div \frac{a^{2} - 2 a}{x y + 3 y} + \frac{2 - y}{x - 3}$

解题步骤 1

将 $\frac{a^{2} - 4}{x^{2} - 9}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 9 = 0$

解题步骤 2

求解 $a$ 。

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解题步骤 2.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$x^{2} = 9$

解题步骤 2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{9}$

解题步骤 2.3

化简 $\pm \sqrt{9}$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 3$

解题步骤 2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3$

解题步骤 2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3$

解题步骤 2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3, - 3$

解题步骤 3

将 $\frac{a^{2} - 2 a}{x y + 3 y}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x y + 3 y = 0$

解题步骤 4

求解 $a$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $3 y$ 。

$x y = - 3 y$

解题步骤 4.2

将 $x y = - 3 y$ 中的每一项除以 $y$ 并化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $x y = - 3 y$ 中的每一项都除以 $y$ 。

$\frac{x y}{y} = \frac{- 3 y}{y}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{y} = \frac{- 3 y}{y}$

解题步骤 4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 y}{y}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.1

约去公因数。

$x = \frac{- 3 y}{y}$

解题步骤 4.2.3.1.2

用 $- 3$ 除以 $1$ 。

$x = - 3$

解题步骤 5

将 $\frac{a^{2} - 4}{x^{2} - 9} \div \frac{a^{2} - 2 a}{x y + 3 y}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\frac{a^{2} - 2 a}{x y + 3 y} = 0$

解题步骤 6

求解 $a$ 。

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解题步骤 6.1

将分子设为等于零。

$a^{2} - 2 a = 0$

解题步骤 6.2

求解 $a$ 的方程。

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解题步骤 6.2.1

从 $a^{2} - 2 a$ 中分解出因数 $a$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $a^{2}$ 中分解出因数 $a$ 。

$a \cdot a - 2 a = 0$

解题步骤 6.2.1.2

从 $- 2 a$ 中分解出因数 $a$ 。

$a \cdot a + a \cdot - 2 = 0$

解题步骤 6.2.1.3

从 $a \cdot a + a \cdot - 2$ 中分解出因数 $a$ 。

$a (a - 2) = 0$

解题步骤 6.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$a = 0$

$a - 2 = 0$

解题步骤 6.2.3

将 $a$ 设为等于 $0$ 。

$a = 0$

解题步骤 6.2.4

将 $a - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $a$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $a - 2$ 设为等于 $0$ 。

$a - 2 = 0$

解题步骤 6.2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$a = 2$

解题步骤 6.2.5

最终解为使 $a (a - 2) = 0$ 成立的所有值。

$a = 0, 2$

解题步骤 7

将 $\frac{2 - y}{x - 3}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x - 3 = 0$

解题步骤 8

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 9

定义域为使表达式有定义的所有值 $a$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

集合符号：

${a | a \neq 0, 2, 3, - 3}$

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