初级微积分示例

$f (x) = \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ 无定义。

$- 1 \leq x \leq 0$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 1$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $0$ 时， $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 0$ 是一条垂直渐近线。

$x = 0$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - 1, 0$

解题步骤 5

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 5.1

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

解题步骤 5.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

解题步骤 5.1.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

解题步骤 5.1.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

解题步骤 5.2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.3

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.4

约去公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

解题步骤 5.5

计算极限值。

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解题步骤 5.5.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

解题步骤 5.5.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

解题步骤 5.5.3

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

解题步骤 5.6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

解题步骤 5.7

将极限移入根号内。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

解题步骤 5.8

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

解题步骤 5.9

计算极限值。

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解题步骤 5.9.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

解题步骤 5.9.1.2

重写表达式。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

解题步骤 5.9.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.9.2.1

约去公因数。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

解题步骤 5.9.2.2

重写表达式。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

解题步骤 5.9.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

解题步骤 5.9.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

解题步骤 5.9.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

解题步骤 5.10

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

解题步骤 5.11

计算极限值。

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解题步骤 5.11.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

解题步骤 5.11.2

化简答案。

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解题步骤 5.11.2.1

用 $1 + 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 5.11.2.2

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3}{\sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 5.11.2.3

化简分母。

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解题步骤 5.11.2.3.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3}{\sqrt{1}}$

解题步骤 5.11.2.3.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{- 3}{1}$

解题步骤 5.11.2.4

用 $- 3$ 除以 $1$ 。

$- 3$

解题步骤 6

计算 $lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 6.1

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

解题步骤 6.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

解题步骤 6.1.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

解题步骤 6.1.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

解题步骤 6.2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = - \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.3

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.4

约去公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

解题步骤 6.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

解题步骤 6.5

计算极限值。

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解题步骤 6.5.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

解题步骤 6.5.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

解题步骤 6.5.3

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

解题步骤 6.6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

解题步骤 6.7

计算极限值。

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解题步骤 6.7.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 3 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

解题步骤 6.7.2

将极限移入根号内。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

解题步骤 6.8

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

解题步骤 6.9

计算极限值。

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解题步骤 6.9.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.9.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

解题步骤 6.9.1.2

重写表达式。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

解题步骤 6.9.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.9.2.1

约去公因数。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

解题步骤 6.9.2.2

重写表达式。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

解题步骤 6.9.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

解题步骤 6.9.4

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

解题步骤 6.9.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

解题步骤 6.10

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

解题步骤 6.11

计算极限值。

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解题步骤 6.11.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

解题步骤 6.11.2

化简答案。

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解题步骤 6.11.2.1

用 $1 + 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 6.11.2.2

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3}{- \sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 6.11.2.3

化简分母。

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解题步骤 6.11.2.3.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 3}{- \sqrt{1}}$

解题步骤 6.11.2.3.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{- 3}{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 6.11.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 6.11.2.5

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$3$

解题步骤 7

列出水平渐近线：

$y = - 3, 3$

解题步骤 8

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 1, 0$

水平渐近线： $y = - 3, 3$

无法求斜渐近线

解题步骤 10

初级微积分 示例

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