初级微积分示例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{| x | - x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$| x | - x \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $| x | - x \geq 0$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.1.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 2.1.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x - x \geq 0$

解题步骤 2.1.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 2.1.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x - x \geq 0$

解题步骤 2.1.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x - x \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.1.6

从 $x$ 中减去 $x$ 。

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.1.7

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - 2 x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.2

当 $x \geq 0$ 时求解 $0 \geq 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

总为真

解题步骤 2.2.2

求交点。

$x \geq 0$

解题步骤 2.3

当 $x < 0$ 时求解 $- 2 x \geq 0$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 2 x \geq 0$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $- 2 x \geq 0$ 中的每一项除以 $- 2$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{0}{- 2}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $- 2$ 。

$x \leq 0$

解题步骤 2.3.2

求 $x \leq 0$ 和 $x < 0$ 的交点。

$x < 0$

解题步骤 2.4

求解的并集。

所有实数

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{| x | - x} = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{| x | - x}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{| x | - x}$ 重写成 ${(| x | - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 ${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 ${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(| x | - x)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

化简。

$| x | - x = 0^{2}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| x | - x = 0$

解题步骤 4.3

在等式两边都加上 $x$ 。

$| x | = x$

解题步骤 4.4

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm x$

解题步骤 4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = x$

解题步骤 4.5.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.5.2.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x - x = 0$

解题步骤 4.5.2.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$0 = 0$

解题步骤 4.5.3

因为 $0 = 0$ ，所以方程将恒成立。

总为真

解题步骤 4.5.4

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - x$

解题步骤 4.5.5

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.5.5.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$x + x = 0$

解题步骤 4.5.5.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 x = 0$

解题步骤 4.5.6

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.5.6.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.5.6.2

化简左边。

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解题步骤 4.5.6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.5.6.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 4.5.6.3

化简右边。

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解题步骤 4.5.6.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.5.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x =, 0$

解题步骤 4.6

将每一个解代入 $\sqrt{| x | - x} = 0$ 并求解从而对其进行验证。

$x = 0$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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