初级微积分示例

$f (x) = \frac{x - 6}{6}$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{x - 6}{6}$ 写为等式。

$y = \frac{x - 6}{6}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{y - 6}{6}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{y - 6}{6} = x$ 。

$\frac{y - 6}{6} = x$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $6$ 。

$6 \frac{y - 6}{6} = 6 x$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$6 \frac{y - 6}{6} = 6 x$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$y - 6 = 6 x$

解题步骤 3.4

在等式两边都加上 $6$ 。

$y = 6 x + 6$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 6 x + 6$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 6 x + 6$ 是否为 $f (x) = \frac{x - 6}{6}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{x - 6}{6})$ 。

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = 6 (\frac{x - 6}{6}) + 6$

解题步骤 5.2.3

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = 6 (\frac{x - 6}{6}) + 6$

解题步骤 5.2.3.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = x - 6 + 6$

解题步骤 5.2.4

合并 $x - 6 + 6$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (6 x + 6)$ 。

$f (6 x + 6) = \frac{(6 x + 6) - 6}{6}$

解题步骤 5.3.3

约去 $(6 x + 6) - 6$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x) + 6 - 6}{6}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x) + 6 \cdot 1 - 6}{6}$

解题步骤 5.3.3.3

从 $6 (x) + 6 (1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1) - 6}{6}$

解题步骤 5.3.3.4

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1) + 6 \cdot - 1}{6}$

解题步骤 5.3.3.5

从 $6 (x + 1) + 6 (- 1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1 - 1)}{6}$

解题步骤 5.3.3.6

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.6.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1 - 1)}{6 (1)}$

解题步骤 5.3.3.6.2

约去公因数。

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1 - 1)}{6 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.3.6.3

重写表达式。

$f (6 x + 6) = \frac{x + 1 - 1}{1}$

解题步骤 5.3.3.6.4

用 $x + 1 - 1$ 除以 $1$ 。

$f (6 x + 6) = x + 1 - 1$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (6 x + 6) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (6 x + 6) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 6 x + 6$ 为 $f (x) = \frac{x - 6}{6}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 6 x + 6$

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