初级微积分示例

$\frac{\sqrt{25 - x^{2}}}{\sqrt{x + 3}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{25 - x^{2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$25 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从不等式两边同时减去 $25$ 。

$- x^{2} \geq - 25$

解题步骤 2.2

将 $- x^{2} \geq - 25$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $- x^{2} \geq - 25$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $- 25$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 25$

解题步骤 2.3

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{25}$

解题步骤 2.4

化简方程。

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解题步骤 2.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.4.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{25}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简 $\sqrt{25}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$| x | \leq \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 2.4.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \leq | 5 |$

解题步骤 2.4.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$| x | \leq 5$

解题步骤 2.5

将 $| x | \leq 5$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 2.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 5$

解题步骤 2.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 2.5.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 5$

解题步骤 2.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 5 & x \geq 0 \\ - x \leq 5 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.6

求 $x \leq 5$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 5$

解题步骤 2.7

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 5$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $- x \leq 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.7.1.1

将 $- x \leq 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{5}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.1.3.1

用 $5$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 5$

解题步骤 2.7.2

求 $x \geq - 5$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 5 \leq x < 0$

解题步骤 2.8

求解的并集。

$- 5 \leq x \leq 5$

解题步骤 3

将 $\sqrt{x + 3}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 3 \geq 0$

解题步骤 4

从不等式两边同时减去 $3$ 。

$x \geq - 3$

解题步骤 5

将 $\frac{\sqrt{25 - x^{2}}}{\sqrt{x + 3}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x + 3} = 0$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x + 3}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 3}$ 重写成 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简 ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 6.2.2.1.2

化简。

$x + 3 = 0^{2}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 6.3

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 7

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- 3, 5]$

集合符号：

${x | - 3 < x \leq 5}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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