初级微积分示例

$f (x, y) = \sqrt{\ln (x + y)}$

解题步骤 1

求解 $\sqrt{\ln (x + y)}$ 。

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解题步骤 1.1

将方程重写为 $\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$ 。

$\sqrt{\ln (x + y)} = f (x, y)$

解题步骤 1.2

将 $f$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$\sqrt{\ln (x + y)} = (f x, f y)$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{\ln (x + y)}}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\ln (x + y)}$ 重写成 ${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(f x, f y)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({\ln (x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${\ln (x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(f x, f y)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\ln^{1} (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 ${(f x, f y)}^{2}$ 。

$\ln (x + y) - {(f x, f y)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用对数的定义将 $\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

解题步骤 4.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.4.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.2

展开左边。

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解题步骤 4.4.2.1

通过将 ${(f x, f y)}^{2}$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ 。

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.2.3

将 ${(f x, f y)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.3

从等式两边同时减去 $\ln (x + y)$ 。

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

解题步骤 4.4.4

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

解题步骤 4.4.5

使用对数的定义将 $\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

解题步骤 4.4.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.4.6.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.6.2

展开左边。

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解题步骤 4.4.6.2.1

通过将 ${(f x, f y)}^{2}$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ 。

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.6.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.6.2.3

将 ${(f x, f y)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.6.3

从等式两边同时减去 $\ln (x + y)$ 。

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

解题步骤 4.4.6.4

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

解题步骤 4.4.6.5

使用对数的定义将 $\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

解题步骤 4.4.6.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.4.6.6.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.6.6.2

展开左边。

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解题步骤 4.4.6.6.2.1

通过将 ${(f x, f y)}^{2}$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ 。

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.6.6.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.6.6.2.3

将 ${(f x, f y)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.6.6.3

从等式两边同时减去 $\ln (x + y)$ 。

${(f x, f y)}^{2} - \ln (x + y) = 0$

解题步骤 4.4.6.6.4

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x + y)} = e^{{(f x, f y)}^{2}}$

解题步骤 4.4.6.6.5

使用对数的定义将 $\ln (x + y) = {(f x, f y)}^{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{{(f x, f y)}^{2}} = x + y$

解题步骤 4.4.6.6.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.4.6.6.6.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}}) = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.6.6.6.2

展开左边。

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解题步骤 4.4.6.6.6.2.1

通过将 ${(f x, f y)}^{2}$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{{(f x, f y)}^{2}})$ 。

${(f x, f y)}^{2} \ln (e) = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.6.6.6.2.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

${(f x, f y)}^{2} \cdot 1 = \ln (x + y)$

解题步骤 4.4.6.6.6.2.3

将 ${(f x, f y)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${(f x, f y)}^{2} = \ln (x + y)$

解题步骤 5

将 $\ln (x + y)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + y > 0$

解题步骤 6

从不等式两边同时减去 $y$ 。

$x > - y$

解题步骤 7

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

初级微积分 示例

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