初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$ 无定义。

$x = 0, x = 4$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $4$ 时， $\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $4$ 时， $\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 4$ 是一条垂直渐近线。

$x = 4$

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 4$

$m = 2$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1.1

从 $x^{4} - 4 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} x^{2} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 6.1.1.1.2

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4}{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 6.1.1.1.3

从 $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 6.1.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x^{2} - 2^{2})}{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 6.1.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 6.1.2

化简项。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $x^{2} - 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x \cdot x - 4 x}$

解题步骤 6.1.2.1.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

解题步骤 6.1.2.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x (x - 4)}$

解题步骤 6.1.2.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.2.1

从 $x^{2} (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x ((x (x + 2)) (x - 2))}{x (x - 4)}$

解题步骤 6.1.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x ((x (x + 2)) (x - 2))}{x (x - 4)}$

解题步骤 6.1.2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{(x (x + 2)) (x - 2)}{x - 4}$

$\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 4}$

解题步骤 6.2

展开 $x (x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 6.2.1

运用分配律。

$\frac{(x \cdot x + x \cdot 2) (x - 2)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot x (x - 2) + x \cdot (2 (x - 2))}{x - 4}$

解题步骤 6.2.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot - 2 + x \cdot (2 (x - 2))}{x - 4}$

解题步骤 6.2.4

运用分配律。

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot - 2 + x \cdot (2 x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

解题步骤 6.2.5

移动 $x$ 。

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot (- 2 x) + x \cdot (2 x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

解题步骤 6.2.6

将 $x$ 和 $- 2$ 重新排序。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot (2 x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

解题步骤 6.2.7

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

解题步骤 6.2.8

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot x \cdot - 2}{x - 4}$

解题步骤 6.2.9

移动 $x$ 。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.10

将 $- 2$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.11

将 $2$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 1} x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2 + 1} - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.18

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.19

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.20

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} - 2 x^{1 + 1} + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.22

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.23

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.24

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.26

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

解题步骤 6.2.27

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x}{x - 4}$

解题步骤 6.2.28

将 $- 2 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$\frac{x^{3} + 0 - 4 x}{x - 4}$

解题步骤 6.2.29

从 $0$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{x^{3} - 4 x}{x - 4}$

解题步骤 6.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$0$

解题步骤 6.4

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$

解题步骤 6.5

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 6.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 6.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

解题步骤 6.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

解题步骤 6.9

将被除数中的最高阶项 $4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

解题步骤 6.10

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$

解题步骤 6.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{2} - 16 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

解题步骤 6.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$

解题步骤 6.13

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$

解题步骤 6.14

将被除数中的最高阶项 $12 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$

解题步骤 6.15

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$
							+	$12 x$	-	$48$

解题步骤 6.16

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $12 x - 48$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$
							-	$12 x$	+	$48$

解题步骤 6.17

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$
							-	$12 x$	+	$48$
									+	$48$

解题步骤 6.18

最终答案为商加上余数除以除数。

$x^{2} + 4 x + 12 + \frac{48}{x - 4}$

解题步骤 6.19

将解分解成多项式部分和余项。

$x^{2} + 4 x + 12 + \frac{48 x}{x^{2} - 4 x}$

解题步骤 6.20

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = x^{2} + 4 x + 12$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 4$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = x^{2} + 4 x + 12$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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