初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ 无定义。

$- 1 \leq x \leq 1$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 1$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = 1$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - 1, 1$

解题步骤 5

因为极限不存在，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 1, 1$

不存在水平渐近线

无法求斜渐近线

解题步骤 8

初级微积分 示例

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