初级微积分示例

$f (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + e^{- x}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + e^{- x}}$

解题步骤 3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + e^{- x}}$

解题步骤 3.1.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} e^{- x}}$

解题步骤 3.1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} e^{- x}}$

解题步骤 3.2

因为指数 $- x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{1 + 0}$

解题步骤 3.3

化简答案。

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解题步骤 3.3.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 3.3.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ 趋于 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

列出水平渐近线：

$y = 1, 0$

解题步骤 6

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = 1, 0$

不存在斜渐近线

解题步骤 8

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