初级微积分示例

$16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$

解题步骤 1

求椭圆的标准形式。

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解题步骤 1.1

将每一项除以 $144$ 以使方程右边等于一。

$\frac{16 x^{2}}{144} + \frac{9 y^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

解题步骤 1.2

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

解题步骤 2

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

椭圆的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从椭圆中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 - {(3)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 - 1 \cdot 9}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\sqrt{16 - 9}$

解题步骤 5.3.4

从 $16$ 中减去 $9$ 。

$\sqrt{7}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

椭圆的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + 4)$

解题步骤 6.3

化简。

$(0, 4)$

解题步骤 6.4

椭圆的第二个顶点可通过让 $k$ 减去 $a$ 求出。

$(h, k - a)$

解题步骤 6.5

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (4))$

解题步骤 6.6

化简。

$(0, - 4)$

解题步骤 6.7

椭圆形有两个顶点。

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 + \sqrt{7})$

解题步骤 7.3

化简。

$(0, \sqrt{7})$

解题步骤 7.4

椭圆的第一个焦点可通过 $k$ 减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.5

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式。

$(0, 0 - (\sqrt{7}))$

解题步骤 7.6

化简。

$(0, - \sqrt{7})$

解题步骤 7.7

椭圆形有两个焦点。

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{7})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{7})$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(3)}^{2}}}{4}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{16 - 3^{2}}}{4}$

解题步骤 8.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 9}}{4}$

解题步骤 8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{\sqrt{16 - 9}}{4}$

解题步骤 8.3.4

从 $16$ 中减去 $9$ 。

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

解题步骤 9

这些值代表的是绘制和分析椭圆时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{7})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{7})$

离心率： $\frac{\sqrt{7}}{4}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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