初级微积分示例

$g (x) = \frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ 无定义。

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, x = 1$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 时， $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 时， $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 是一条垂直渐近线。

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 时， $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 时， $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 是一条垂直渐近线。

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 4

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = 1$

解题步骤 5

列出所有垂直渐近线：

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1$

解题步骤 6

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 7

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 5$

$m = 3$

解题步骤 8

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 9

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 9.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 9.2

将被除数中的最高阶项 $5 x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{3}$ 。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 9.3

将新的商式项乘以除数。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

解题步骤 9.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $5 x^{5} + 0 - 10 x^{3} + 5 x^{2}$ 中的所有符号

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

解题步骤 9.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

解题步骤 9.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 9.7

将被除数中的最高阶项 $10 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{3}$ 。

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 9.8

将新的商式项乘以除数。

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

解题步骤 9.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10 x^{3} + 0 - 20 x + 10$ 中的所有符号

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

解题步骤 9.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

$5 x^{2}$

$20 x$

$10$

解题步骤 9.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$5 x^{2} + 10 + \frac{- 5 x^{2} + 20 x - 10}{x^{3} - 2 x + 1}$

解题步骤 9.12

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 5 x^{2} + 10$

解题步骤 10

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 5 x^{2} + 10$

解题步骤 11

初级微积分 示例

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