初级微积分示例

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - {(x - 5)}^{2}$

解题步骤 1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 1.1

将 $y$ 单独提取至等式的左边。

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解题步骤 1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1

将 ${(x - 5)}^{2}$ 重写为 $(x - 5) (x - 5)$ 。

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - ((x - 5) (x - 5))$

解题步骤 1.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 5) (x - 5)$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

运用分配律。

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x (x - 5) - 5 (x - 5))$

解题步骤 1.1.1.2.2

运用分配律。

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))$

解题步骤 1.1.1.2.3

运用分配律。

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

解题步骤 1.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

解题步骤 1.1.1.3.1.2

将 $- 5$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)$

解题步骤 1.1.1.3.1.3

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)$

解题步骤 1.1.1.3.2

从 $- 5 x$ 中减去 $5 x$ 。

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 10 x + 25)$

解题步骤 1.1.1.4

运用分配律。

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25$

解题步骤 1.1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.1.5.1

将 $- 10$ 乘以 $- 1$ 。

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25$

解题步骤 1.1.1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 25$

解题步骤 1.1.2

重新排序项。

$y = - x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$

解题步骤 1.2

对 $- x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 1.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$- x^{2} + 3 ((x - 2) (x - 2)) + 10 x - 25$

解题步骤 1.2.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 1.2.1.1.2.1

运用分配律。

$- x^{2} + 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

解题步骤 1.2.1.1.2.2

运用分配律。

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

解题步骤 1.2.1.1.2.3

运用分配律。

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

解题步骤 1.2.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

解题步骤 1.2.1.1.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

解题步骤 1.2.1.1.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 10 x - 25$

解题步骤 1.2.1.1.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 4 x + 4) + 10 x - 25$

解题步骤 1.2.1.1.4

运用分配律。

$- x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

解题步骤 1.2.1.1.5

化简。

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解题步骤 1.2.1.1.5.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

解题步骤 1.2.1.1.5.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

解题步骤 1.2.1.2

将 $- x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$2 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

解题步骤 1.2.1.3

将 $- 12 x$ 和 $10 x$ 相加。

$2 x^{2} - 2 x + 12 - 25$

解题步骤 1.2.1.4

从 $12$ 中减去 $25$ 。

$2 x^{2} - 2 x - 13$

解题步骤 1.2.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 2$

$b = - 2$

$c = - 13$

解题步骤 1.2.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.2.1

从 $2 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 13 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.5.2.1.1

约去 ${(- 2)}^{2}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.1.1.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$e = - 13 - \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.2

对 $- 1 (2)$ 运用乘积法则。

$e = - 13 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = - 13 - \frac{1 \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.4

将 $2^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e = - 13 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.5

从 $2^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.6

约去公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.1.1.6.1

从 $4 \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.6.2

约去公因数。

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

解题步骤 1.2.5.2.1.1.6.3

重写表达式。

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.1.2.1

约去公因数。

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.2.1.2.2

重写表达式。

$e = - 13 - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.2

要将 $- 13$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e = - 13 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.3

组合 $- 13$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e = \frac{- 13 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.4

在公分母上合并分子。

$e = \frac{- 13 \cdot 2 - 1}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.2.5.1

将 $- 13$ 乘以 $2$ 。

$e = \frac{- 26 - 1}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.5.2

从 $- 26$ 中减去 $1$ 。

$e = \frac{- 27}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.6

将负号移到分数的前面。

$e = - \frac{27}{2}$

解题步骤 1.2.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$ 。

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

解题步骤 1.3

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

解题步骤 2

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{27}{2}$

解题步骤 3

求顶点 $(h, k)$ 。

$(\frac{1}{2}, - \frac{27}{2})$

解题步骤 4

初级微积分 示例

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