初级微积分示例

$f (x) = x^{\frac{1}{5}} + 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{\frac{1}{5}} + 7$ 写为等式。

$y = x^{\frac{1}{5}} + 7$

解题步骤 2

交换变量。

$x = y^{\frac{1}{5}} + 7$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $y^{\frac{1}{5}} + 7 = x$ 。

$y^{\frac{1}{5}} + 7 = x$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$y^{\frac{1}{5}} - x = - 7$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$y^{\frac{1}{5}} = - 7 + x$

解题步骤 3.3

将方程两边同时进行 $5$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 7 + x)}^{5}$

解题步骤 3.4

化简指数。

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解题步骤 3.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 7 + x)}^{5}$

解题步骤 3.4.1.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 7 + x)}^{5}$

解题步骤 3.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(- 7 + x)}^{5}$

解题步骤 3.4.1.1.2

化简。

$y = {(- 7 + x)}^{5}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(- 7 + x)}^{5}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

使用二项式定理。

$y = {(- 7)}^{5} + 5 {(- 7)}^{4} x + 10 {(- 7)}^{3} x^{2} + 10 {(- 7)}^{2} x^{3} + 5 \cdot - 7 x^{4} + x^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1

对 $- 7$ 进行 $5$ 次方运算。

$y = - 16807 + 5 {(- 7)}^{4} x + 10 {(- 7)}^{3} x^{2} + 10 {(- 7)}^{2} x^{3} + 5 \cdot - 7 x^{4} + x^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.2.2

对 $- 7$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = - 16807 + 5 \cdot 2401 x + 10 {(- 7)}^{3} x^{2} + 10 {(- 7)}^{2} x^{3} + 5 \cdot - 7 x^{4} + x^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.2.3

将 $5$ 乘以 $2401$ 。

$y = - 16807 + 12005 x + 10 {(- 7)}^{3} x^{2} + 10 {(- 7)}^{2} x^{3} + 5 \cdot - 7 x^{4} + x^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.2.4

对 $- 7$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - 16807 + 12005 x + 10 \cdot - 343 x^{2} + 10 {(- 7)}^{2} x^{3} + 5 \cdot - 7 x^{4} + x^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.2.5

将 $10$ 乘以 $- 343$ 。

$y = - 16807 + 12005 x - 3430 x^{2} + 10 {(- 7)}^{2} x^{3} + 5 \cdot - 7 x^{4} + x^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.2.6

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - 16807 + 12005 x - 3430 x^{2} + 10 \cdot 49 x^{3} + 5 \cdot - 7 x^{4} + x^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.2.7

将 $10$ 乘以 $49$ 。

$y = - 16807 + 12005 x - 3430 x^{2} + 490 x^{3} + 5 \cdot - 7 x^{4} + x^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.2.8

将 $5$ 乘以 $- 7$ 。

$y = - 16807 + 12005 x - 3430 x^{2} + 490 x^{3} - 35 x^{4} + x^{5}$

解题步骤 3.5

化简 $- 16807 + 12005 x - 3430 x^{2} + 490 x^{3} - 35 x^{4} + x^{5}$ 。

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解题步骤 3.5.1

移动 $- 16807$ 。

$y = 12005 x - 3430 x^{2} + 490 x^{3} - 35 x^{4} + x^{5} - 16807$

解题步骤 3.5.2

移动 $12005 x$ 。

$y = - 3430 x^{2} + 490 x^{3} - 35 x^{4} + x^{5} + 12005 x - 16807$

解题步骤 3.5.3

移动 $- 3430 x^{2}$ 。

$y = 490 x^{3} - 35 x^{4} + x^{5} - 3430 x^{2} + 12005 x - 16807$

解题步骤 3.5.4

移动 $490 x^{3}$ 。

$y = - 35 x^{4} + x^{5} + 490 x^{3} - 3430 x^{2} + 12005 x - 16807$

解题步骤 3.5.5

将 $- 35 x^{4}$ 和 $x^{5}$ 重新排序。

$y = x^{5} - 35 x^{4} + 490 x^{3} - 3430 x^{2} + 12005 x - 16807$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = x^{5} - 35 x^{4} + 490 x^{3} - 3430 x^{2} + 12005 x - 16807$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = x^{5} - 35 x^{4} + 490 x^{3} - 3430 x^{2} + 12005 x - 16807$ 是否为 $f (x) = x^{\frac{1}{5}} + 7$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7)$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

使用二项式定理。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} + 5 {(x^{\frac{1}{5}})}^{4} \cdot 7 + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{3} \cdot 7^{2} + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{3} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 5 {(x^{\frac{1}{5}})}^{4} \cdot 7 + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{3} \cdot 7^{2} + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{3} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 5 {(x^{\frac{1}{5}})}^{4} \cdot 7 + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{3} \cdot 7^{2} + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{3} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.2

化简。

解题步骤 5.2.3.2.3

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 5 x^{\frac{1}{5} \cdot 4} \cdot 7 + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{3} \cdot 7^{2} + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{3} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.3.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $4$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 5 x^{\frac{4}{5}} \cdot 7 + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{3} \cdot 7^{2} + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{3} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.4

将 $7$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{3} \cdot 7^{2} + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{3} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.5

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 10 x^{\frac{1}{5} \cdot 3} \cdot 7^{2} + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{3} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.5.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 10 x^{\frac{3}{5}} \cdot 7^{2} + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{3} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.6

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 10 x^{\frac{3}{5}} \cdot 49 + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{3} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.7

将 $49$ 乘以 $10$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{3} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.8

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.2.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10 x^{\frac{1}{5} \cdot 2} \cdot 7^{3} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.8.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10 x^{\frac{2}{5}} \cdot 7^{3} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.9

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10 x^{\frac{2}{5}} \cdot 343 + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.10

将 $343$ 乘以 $10$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{4} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.11

对 $7$ 进行 $4$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 5 x^{\frac{1}{5}} \cdot 2401 + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.12

将 $2401$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 7^{5} - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.2.13

对 $7$ 进行 $5$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{4} + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.3

使用二项式定理。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 ({(x^{\frac{1}{5}})}^{4} + 4 {(x^{\frac{1}{5}})}^{3} \cdot 7 + 6 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{2} + 4 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{3} + 7^{4}) + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.4.1

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 (x^{\frac{1}{5} \cdot 4} + 4 {(x^{\frac{1}{5}})}^{3} \cdot 7 + 6 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{2} + 4 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{3} + 7^{4}) + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.4.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $4$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 (x^{\frac{4}{5}} + 4 {(x^{\frac{1}{5}})}^{3} \cdot 7 + 6 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{2} + 4 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{3} + 7^{4}) + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.4.2

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 (x^{\frac{4}{5}} + 4 x^{\frac{1}{5} \cdot 3} \cdot 7 + 6 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{2} + 4 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{3} + 7^{4}) + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.4.2.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 (x^{\frac{4}{5}} + 4 x^{\frac{3}{5}} \cdot 7 + 6 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{2} + 4 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{3} + 7^{4}) + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.4.3

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 (x^{\frac{4}{5}} + 28 x^{\frac{3}{5}} + 6 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7^{2} + 4 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{3} + 7^{4}) + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.4.4

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.4.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 (x^{\frac{4}{5}} + 28 x^{\frac{3}{5}} + 6 x^{\frac{1}{5} \cdot 2} \cdot 7^{2} + 4 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{3} + 7^{4}) + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.4.4.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 (x^{\frac{4}{5}} + 28 x^{\frac{3}{5}} + 6 x^{\frac{2}{5}} \cdot 7^{2} + 4 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{3} + 7^{4}) + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.4.5

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 (x^{\frac{4}{5}} + 28 x^{\frac{3}{5}} + 6 x^{\frac{2}{5}} \cdot 49 + 4 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{3} + 7^{4}) + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.4.6

将 $49$ 乘以 $6$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 (x^{\frac{4}{5}} + 28 x^{\frac{3}{5}} + 294 x^{\frac{2}{5}} + 4 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{3} + 7^{4}) + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.4.7

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 (x^{\frac{4}{5}} + 28 x^{\frac{3}{5}} + 294 x^{\frac{2}{5}} + 4 x^{\frac{1}{5}} \cdot 343 + 7^{4}) + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.4.8

将 $343$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 (x^{\frac{4}{5}} + 28 x^{\frac{3}{5}} + 294 x^{\frac{2}{5}} + 1372 x^{\frac{1}{5}} + 7^{4}) + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.4.9

对 $7$ 进行 $4$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 (x^{\frac{4}{5}} + 28 x^{\frac{3}{5}} + 294 x^{\frac{2}{5}} + 1372 x^{\frac{1}{5}} + 2401) + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.5

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 35 (28 x^{\frac{3}{5}}) - 35 (294 x^{\frac{2}{5}}) - 35 (1372 x^{\frac{1}{5}}) - 35 \cdot 2401 + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.6

化简。

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解题步骤 5.2.3.6.1

将 $28$ 乘以 $- 35$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 35 (294 x^{\frac{2}{5}}) - 35 (1372 x^{\frac{1}{5}}) - 35 \cdot 2401 + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.6.2

将 $294$ 乘以 $- 35$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 35 (1372 x^{\frac{1}{5}}) - 35 \cdot 2401 + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.6.3

将 $1372$ 乘以 $- 35$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 35 \cdot 2401 + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.6.4

将 $- 35$ 乘以 $2401$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{3} - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.7

使用二项式定理。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 ({(x^{\frac{1}{5}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7 + 3 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.8

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.8.1

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.8.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 (x^{\frac{1}{5} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7 + 3 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.8.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 (x^{\frac{3}{5}} + 3 {(x^{\frac{1}{5}})}^{2} \cdot 7 + 3 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.8.2

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.8.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 (x^{\frac{3}{5}} + 3 x^{\frac{1}{5} \cdot 2} \cdot 7 + 3 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.8.2.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 (x^{\frac{3}{5}} + 3 x^{\frac{2}{5}} \cdot 7 + 3 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.8.3

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 (x^{\frac{3}{5}} + 21 x^{\frac{2}{5}} + 3 x^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{2} + 7^{3}) - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.8.4

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 (x^{\frac{3}{5}} + 21 x^{\frac{2}{5}} + 3 x^{\frac{1}{5}} \cdot 49 + 7^{3}) - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.8.5

将 $49$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 (x^{\frac{3}{5}} + 21 x^{\frac{2}{5}} + 147 x^{\frac{1}{5}} + 7^{3}) - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.8.6

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 (x^{\frac{3}{5}} + 21 x^{\frac{2}{5}} + 147 x^{\frac{1}{5}} + 343) - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.9

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 490 (21 x^{\frac{2}{5}}) + 490 (147 x^{\frac{1}{5}}) + 490 \cdot 343 - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.10

化简。

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解题步骤 5.2.3.10.1

将 $21$ 乘以 $490$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 490 (147 x^{\frac{1}{5}}) + 490 \cdot 343 - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.10.2

将 $147$ 乘以 $490$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 490 \cdot 343 - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.10.3

将 $490$ 乘以 $343$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 {(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2} + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.11

将 ${(x^{\frac{1}{5}} + 7)}^{2}$ 重写为 $(x^{\frac{1}{5}} + 7) (x^{\frac{1}{5}} + 7)$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 ((x^{\frac{1}{5}} + 7) (x^{\frac{1}{5}} + 7)) + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.12

使用 FOIL 方法展开 $(x^{\frac{1}{5}} + 7) (x^{\frac{1}{5}} + 7)$ 。

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解题步骤 5.2.3.12.1

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 (x^{\frac{1}{5}} (x^{\frac{1}{5}} + 7) + 7 (x^{\frac{1}{5}} + 7)) + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.12.2

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{1}{5}} \cdot 7 + 7 (x^{\frac{1}{5}} + 7)) + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.12.3

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{1}{5}} + x^{\frac{1}{5}} \cdot 7 + 7 x^{\frac{1}{5}} + 7 \cdot 7) + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.13.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.13.1.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{5}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.13.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 (x^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}} + x^{\frac{1}{5}} \cdot 7 + 7 x^{\frac{1}{5}} + 7 \cdot 7) + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.13.1.1.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 (x^{\frac{1 + 1}{5}} + x^{\frac{1}{5}} \cdot 7 + 7 x^{\frac{1}{5}} + 7 \cdot 7) + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.13.1.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 (x^{\frac{2}{5}} + x^{\frac{1}{5}} \cdot 7 + 7 x^{\frac{1}{5}} + 7 \cdot 7) + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.13.1.2

将 $7$ 移到 $x^{\frac{1}{5}}$ 的左侧。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 (x^{\frac{2}{5}} + 7 \cdot x^{\frac{1}{5}} + 7 x^{\frac{1}{5}} + 7 \cdot 7) + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.13.1.3

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 (x^{\frac{2}{5}} + 7 x^{\frac{1}{5}} + 7 x^{\frac{1}{5}} + 49) + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.13.2

将 $7 x^{\frac{1}{5}}$ 和 $7 x^{\frac{1}{5}}$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 (x^{\frac{2}{5}} + 14 x^{\frac{1}{5}} + 49) + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.14

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 x^{\frac{2}{5}} - 3430 (14 x^{\frac{1}{5}}) - 3430 \cdot 49 + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.15

化简。

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解题步骤 5.2.3.15.1

将 $14$ 乘以 $- 3430$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 3430 \cdot 49 + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.15.2

将 $- 3430$ 乘以 $49$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 168070 + 12005 (x^{\frac{1}{5}} + 7) - 16807$

解题步骤 5.2.3.16

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 168070 + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 12005 \cdot 7 - 16807$

解题步骤 5.2.3.17

将 $12005$ 乘以 $7$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 168070 + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 84035 - 16807$

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

合并 $x + 35 x^{\frac{4}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 35 x^{\frac{4}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 168070 + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 84035 - 16807$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $35 x^{\frac{4}{5}}$ 中减去 $35 x^{\frac{4}{5}}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 + 0 - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 168070 + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 84035 - 16807$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 980 x^{\frac{3}{5}} - 10290 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 10290 x^{\frac{2}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 168070 + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 84035 - 16807$

解题步骤 5.2.4.1.3

将 $- 10290 x^{\frac{2}{5}}$ 和 $10290 x^{\frac{2}{5}}$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 980 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 0 + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 168070 + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 84035 - 16807$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 980 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 3430 x^{\frac{2}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 980 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 3430 x^{\frac{2}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 168070 + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 84035 - 16807$

解题步骤 5.2.4.1.5

从 $3430 x^{\frac{2}{5}}$ 中减去 $3430 x^{\frac{2}{5}}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 980 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 + 0 - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 168070 + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 84035 - 16807$

解题步骤 5.2.4.1.6

将 $x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 980 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 980 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} + 168070 - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 168070 + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 84035 - 16807$

解题步骤 5.2.4.1.7

从 $168070$ 中减去 $168070$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 980 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 0 + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 84035 - 16807$

解题步骤 5.2.4.1.8

将 $x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 980 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 980 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} - 84035 + 490 x^{\frac{3}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 84035 - 16807$

解题步骤 5.2.4.1.9

将 $- 84035$ 和 $84035$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 980 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 0 - 16807$

解题步骤 5.2.4.1.10

将 $x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 16807 - 980 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}}$ 和 $0$ 相加。

解题步骤 5.2.4.1.11

从 $16807$ 中减去 $16807$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} + 0$

解题步骤 5.2.4.1.12

将 $x + 490 x^{\frac{3}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}} - 980 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}}$ 和 $0$ 相加。

解题步骤 5.2.4.2

从 $490 x^{\frac{3}{5}}$ 中减去 $980 x^{\frac{3}{5}}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 12005 x^{\frac{1}{5}} - 490 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.2.4.3

合并 $x + 12005 x^{\frac{1}{5}} - 490 x^{\frac{3}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 490 x^{\frac{3}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- 490 x^{\frac{3}{5}}$ 和 $490 x^{\frac{3}{5}}$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 12005 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 0 + 72030 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $x + 12005 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 12005 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.2.4.4

从 $12005 x^{\frac{1}{5}}$ 中减去 $48020 x^{\frac{1}{5}}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x - 36015 x^{\frac{1}{5}} + 72030 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.2.4.5

将 $- 36015 x^{\frac{1}{5}}$ 和 $72030 x^{\frac{1}{5}}$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 36015 x^{\frac{1}{5}} - 48020 x^{\frac{1}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.2.4.6

从 $36015 x^{\frac{1}{5}}$ 中减去 $48020 x^{\frac{1}{5}}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x - 12005 x^{\frac{1}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.2.4.7

合并 $x - 12005 x^{\frac{1}{5}} + 12005 x^{\frac{1}{5}}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.7.1

将 $- 12005 x^{\frac{1}{5}}$ 和 $12005 x^{\frac{1}{5}}$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.7.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{5}} + 7) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x^{5} - 35 x^{4} + 490 x^{3} - 3430 x^{2} + 12005 x - 16807)$ 。

$f (x^{5} - 35 x^{4} + 490 x^{3} - 3430 x^{2} + 12005 x - 16807) = {(x^{5} - 35 x^{4} + 490 x^{3} - 3430 x^{2} + 12005 x - 16807)}^{\frac{1}{5}} + 7$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x^{5} - 35 x^{4} + 490 x^{3} - 3430 x^{2} + 12005 x - 16807$ 为 $f (x) = x^{\frac{1}{5}} + 7$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{5} - 35 x^{4} + 490 x^{3} - 3430 x^{2} + 12005 x - 16807$

初级微积分 示例

初级微积分示例