初级微积分示例

$f (x) = - 7 x^{5} - 5 x^{7} + x^{3}$

解题步骤 1

求 $f (- x)$ 。

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解题步骤 1.1

通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = - 7 {(- x)}^{5} - 5 {(- x)}^{7} + {(- x)}^{3}$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - 7 ({(- 1)}^{5} x^{5}) - 5 {(- x)}^{7} + {(- x)}^{3}$

解题步骤 1.2.2

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- x) = - 7 (- x^{5}) - 5 {(- x)}^{7} + {(- x)}^{3}$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$f (- x) = 7 x^{5} - 5 {(- x)}^{7} + {(- x)}^{3}$

解题步骤 1.2.4

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = 7 x^{5} - 5 ({(- 1)}^{7} x^{7}) + {(- x)}^{3}$

解题步骤 1.2.5

对 $- 1$ 进行 $7$ 次方运算。

$f (- x) = 7 x^{5} - 5 (- x^{7}) + {(- x)}^{3}$

解题步骤 1.2.6

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$f (- x) = 7 x^{5} + 5 x^{7} + {(- x)}^{3}$

解题步骤 1.2.7

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = 7 x^{5} + 5 x^{7} + {(- 1)}^{3} x^{3}$

解题步骤 1.2.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- x) = 7 x^{5} + 5 x^{7} - x^{3}$

解题步骤 2

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 2.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 2.2

因为 $7 x^{5} + 5 x^{7} - x^{3}$ $\neq$ $- 7 x^{5} - 5 x^{7} + x^{3}$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

解题步骤 3

如果一个函数满足 $f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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解题步骤 3.1

求 $- f (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $- 7 x^{5} - 5 x^{7} + x^{3}$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - (- 7 x^{5} - 5 x^{7} + x^{3})$

解题步骤 3.1.2

运用分配律。

$- f (x) = - (- 7 x^{5}) - (- 5 x^{7}) - x^{3}$

解题步骤 3.1.3

化简。

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解题步骤 3.1.3.1

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = 7 x^{5} - (- 5 x^{7}) - x^{3}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = 7 x^{5} + 5 x^{7} - x^{3}$

解题步骤 3.2

因为 $7 x^{5} + 5 x^{7} - x^{3} = 7 x^{5} + 5 x^{7} - x^{3}$ ，所以该函数是奇函数。

该函数是奇函数

解题步骤 4

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