初级微积分示例

$y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ 无定义。

$- 1 \leq x \leq 1$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 1$ 时， $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 1$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = 1$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - 1, 1$

解题步骤 5

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 5.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

解题步骤 5.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 5.3

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.4

计算极限值。

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解题步骤 5.4.1

约去 $x$ 的公因数。

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.4.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.4.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.4.4

将极限移入根号内。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 5.5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.5.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.5.1.2.1

运用分配律。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.2.2

运用分配律。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.2.3

运用分配律。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.2.4

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.2.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.5.1.2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.2.8.2

化简。

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解题步骤 5.5.1.2.8.2.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.2.8.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.2.8.3

将 $- 1 x$ 和 $x$ 相加。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.2.8.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.2.9

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 5.5.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

解题步骤 5.5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

解题步骤 5.5.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 5.5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.5.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.7

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.8

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.12

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.13

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.14

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.15

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 5.5.3.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

解题步骤 5.5.4

简化。

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解题步骤 5.5.4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.1.1

约去公因数。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

解题步骤 5.5.4.1.2

重写表达式。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

解题步骤 5.5.4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.2.1

约去公因数。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

解题步骤 5.5.4.2.2

重写表达式。

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1}}$

解题步骤 5.6

计算极限值。

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解题步骤 5.6.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 5.6.2

化简答案。

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解题步骤 5.6.2.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.6.2.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.2.1

约去公因数。

$2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.6.2.2.2

重写表达式。

$2 \cdot 1$

解题步骤 5.6.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 6

计算 $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 6.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

解题步骤 6.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

解题步骤 6.3

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = - \sqrt{x^{2}}$ 。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.4

计算极限值。

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解题步骤 6.4.1

约去 $x$ 的公因数。

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.4.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.4.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.4.4

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.4.5

将极限移入根号内。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

解题步骤 6.5

运用洛必达法则。

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解题步骤 6.5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 6.5.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 6.5.1.2.1

运用分配律。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.2.2

运用分配律。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.2.3

运用分配律。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.2.4

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.2.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 6.5.1.2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.2.8.2

化简。

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解题步骤 6.5.1.2.8.2.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.2.8.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.2.8.3

将 $- 1 x$ 和 $x$ 相加。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.2.8.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.2.9

首项系数为正的偶次多项式在趋于负无穷时的极限是无穷大。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

解题步骤 6.5.1.3

首项系数为正的偶次多项式在趋于负无穷时的极限是无穷大。

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

解题步骤 6.5.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

解题步骤 6.5.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

解题步骤 6.5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 6.5.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.3

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.7

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.8

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.12

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.13

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.14

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.15

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

解题步骤 6.5.3.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

解题步骤 6.5.4

简化。

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解题步骤 6.5.4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.4.1.1

约去公因数。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

解题步骤 6.5.4.1.2

重写表达式。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}$

解题步骤 6.5.4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.4.2.1

约去公因数。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}$

解题步骤 6.5.4.2.2

重写表达式。

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}$

解题步骤 6.6

计算极限值。

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解题步骤 6.6.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{1}{- \sqrt{1}}$

解题步骤 6.6.2

化简答案。

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解题步骤 6.6.2.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.2.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1}}$

解题步骤 6.6.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

解题步骤 6.6.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$2 (- \frac{1}{1})$

解题步骤 6.6.2.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.2.3.1

约去公因数。

$2 (- \frac{1}{1})$

解题步骤 6.6.2.3.2

重写表达式。

$2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 6.6.2.4

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.6.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \cdot - 1$

解题步骤 6.6.2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2$

解题步骤 7

列出水平渐近线：

$y = 2, - 2$

解题步骤 8

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 1, 1$

水平渐近线： $y = 2, - 2$

无法求斜渐近线

解题步骤 10

初级微积分 示例

初级微积分示例