初级微积分示例

$f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ 写为等式。

$y = x^{\frac{1}{4}} - 3$

解题步骤 2

交换变量。

$x = y^{\frac{1}{4}} - 3$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将方程重写为 $y^{\frac{1}{4}} - 3 = x$ 。

$y^{\frac{1}{4}} - 3 = x$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$y^{\frac{1}{4}} - x = 3$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$y^{\frac{1}{4}} = 3 + x$

解题步骤 3.3

将方程两边同时进行 $4$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(3 + x)}^{4}$

解题步骤 3.4

化简指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(3 + x)}^{4}$

解题步骤 3.4.1.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(3 + x)}^{4}$

解题步骤 3.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(3 + x)}^{4}$

解题步骤 3.4.1.1.2

化简。

$y = {(3 + x)}^{4}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(3 + x)}^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1.1

使用二项式定理。

$y = 3^{4} + 4 \cdot 3^{3} x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1.2.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = 81 + 4 \cdot 3^{3} x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

解题步骤 3.4.2.1.2.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 81 + 4 \cdot 27 x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

解题步骤 3.4.2.1.2.3

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$y = 81 + 108 x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

解题步骤 3.4.2.1.2.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 81 + 108 x + 6 \cdot 9 x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

解题步骤 3.4.2.1.2.5

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$y = 81 + 108 x + 54 x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

解题步骤 3.4.2.1.2.6

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$y = 81 + 108 x + 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4}$

解题步骤 3.5

化简 $81 + 108 x + 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

移动 $81$ 。

$y = 108 x + 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4} + 81$

解题步骤 3.5.2

移动 $108 x$ 。

$y = 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4} + 108 x + 81$

解题步骤 3.5.3

移动 $54 x^{2}$ 。

$y = 12 x^{3} + x^{4} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

解题步骤 3.5.4

将 $12 x^{3}$ 和 $x^{4}$ 重新排序。

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$ 是否为 $f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3)$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

使用二项式定理。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} + 4 {(x^{\frac{1}{4}})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.1

将 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 4 {(x^{\frac{1}{4}})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.1.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 4 {(x^{\frac{1}{4}})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2.2

化简。

解题步骤 5.2.3.2.3

将 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 4 x^{\frac{1}{4} \cdot 3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2.3.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 4 x^{\frac{3}{4}} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2.4

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2.5

将 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2.5.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2.5.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2.5.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2}} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2.6

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2.7

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2.8

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{1}{4}} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2.9

将 $- 27$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.2.10

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.3

使用二项式定理。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.4.1

将 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{1}{4} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.4.1.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.4.2

将 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.4.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.4.2.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.4.2.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.4.3

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.4.4

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.4.5

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 27 x^{\frac{1}{4}} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.4.6

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 27 x^{\frac{1}{4}} - 27) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.5

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} + 12 (- 9 x^{\frac{1}{2}}) + 12 (27 x^{\frac{1}{4}}) + 12 \cdot - 27 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.6.1

将 $- 9$ 乘以 $12$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 12 (27 x^{\frac{1}{4}}) + 12 \cdot - 27 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.6.2

将 $27$ 乘以 $12$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} + 12 \cdot - 27 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.6.3

将 $12$ 乘以 $- 27$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.7

将 ${(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2}$ 重写为 $(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{4}} - 3)$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 ((x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{4}} - 3)) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.8

使用 FOIL 方法展开 $(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{4}} - 3)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.8.1

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4}} (x^{\frac{1}{4}} - 3) - 3 (x^{\frac{1}{4}} - 3)) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.8.2

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 (x^{\frac{1}{4}} - 3)) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.8.3

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.9

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.9.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.9.1.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{4}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.9.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.9.1.1.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1 + 1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.9.1.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.9.1.1.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.9.1.1.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2 (1)}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.9.1.1.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.9.1.1.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.9.1.1.4.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.9.1.1.4.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.9.1.2

将 $- 3$ 移到 $x^{\frac{1}{4}}$ 的左侧。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot x^{\frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.9.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{4}} + 9) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.9.2

从 $- 3 x^{\frac{1}{4}}$ 中减去 $3 x^{\frac{1}{4}}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} - 6 x^{\frac{1}{4}} + 9) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.10

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 54 (- 6 x^{\frac{1}{4}}) + 54 \cdot 9 + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.11.1

将 $- 6$ 乘以 $54$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 54 \cdot 9 + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.11.2

将 $54$ 乘以 $9$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

解题步骤 5.2.3.12

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} + 108 \cdot - 3 + 81$

解题步骤 5.2.3.13

将 $108$ 乘以 $- 3$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.1

合并 $x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.1.1

将 $- 12 x^{\frac{3}{4}}$ 和 $12 x^{\frac{3}{4}}$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 0 - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

解题步骤 5.2.4.1.3

从 $324 x^{\frac{1}{4}}$ 中减去 $324 x^{\frac{1}{4}}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 0 + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

解题步骤 5.2.4.1.5

将 $- 108 x^{\frac{1}{4}}$ 和 $108 x^{\frac{1}{4}}$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 + 0 - 324 + 81$

解题步骤 5.2.4.1.6

将 $x + 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 - 324 + 81$

解题步骤 5.2.4.2

从 $54 x^{\frac{1}{2}}$ 中减去 $108 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 - 324 + 81$

解题步骤 5.2.4.3

合并 $x - 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 - 324 + 81$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- 54 x^{\frac{1}{2}}$ 和 $54 x^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 0 + 81 - 324 + 486 - 324 + 81$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 81 - 324 + 486 - 324 + 81$

解题步骤 5.2.4.4

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.4.1

从 $81$ 中减去 $324$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 243 + 486 - 324 + 81$

解题步骤 5.2.4.4.2

将 $- 243$ 和 $486$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 243 - 324 + 81$

解题步骤 5.2.4.4.3

从 $243$ 中减去 $324$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 81 + 81$

解题步骤 5.2.4.5

合并 $x - 81 + 81$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.5.1

将 $- 81$ 和 $81$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81)$ 。

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = {(x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81)}^{\frac{1}{4}} - 3$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$ 为 $f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

初级微积分 示例

初级微积分示例