初级微积分示例

$81 + 27 + 9 + \dots + \frac{1}{81}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $\frac{1}{3}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = \frac{1}{3}$

解题步骤 2

使用等比数列公式 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 求项数， $n$ 。

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解题步骤 2.1

将首项、末项和公比的值代入公式。

$\frac{1}{81} = 81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 2.2

求解 $n$ 。

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解题步骤 2.2.1

将方程重写为 $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$ 。

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$

解题步骤 2.2.2

化简 $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$81 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

解题步骤 2.2.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$81 \frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

解题步骤 2.2.2.2

组合 $81$ 和 $\frac{1}{3^{n - 1}}$ 。

$\frac{81}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

解题步骤 2.2.3

两边同时乘以 $3^{n - 1}$ 。

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

解题步骤 2.2.4

化简。

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解题步骤 2.2.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.2.4.1.1

约去 $3^{n - 1}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1.1.1

约去公因数。

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

解题步骤 2.2.4.1.1.2

重写表达式。

$81 = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

解题步骤 2.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.4.2.1

组合 $\frac{1}{81}$ 和 $3^{n - 1}$ 。

$81 = \frac{3^{n - 1}}{81}$

解题步骤 2.2.5

求解 $n$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将方程重写为 $\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$ 。

$\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$

解题步骤 2.2.5.2

等式两边同时乘以 $81$ 。

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

解题步骤 2.2.5.3

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.5.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.2.5.3.1.1

约去 $81$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.3.1.1.1

约去公因数。

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

解题步骤 2.2.5.3.1.1.2

重写表达式。

$3^{n - 1} = 81 \cdot 81$

解题步骤 2.2.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.5.3.2.1

将 $81$ 乘以 $81$ 。

$3^{n - 1} = 6561$

解题步骤 2.2.5.4

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$3^{n - 1} = 3^{8}$

解题步骤 2.2.5.5

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$n - 1 = 8$

解题步骤 2.2.5.6

将所有不包含 $n$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.2.5.6.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$n = 8 + 1$

解题步骤 2.2.5.6.2

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$n = 9$

解题步骤 3

使用等比数列求和公式 $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ 求和。

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解题步骤 3.1

将首项、公比和项数的值代入求和公式。

$S_{n} = \frac{81 ({(\frac{1}{3})}^{9} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1^{9}}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.3

对 $3$ 进行 $9$ 次方运算。

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{19683}{19683}$ 。

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1 \cdot \frac{19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{19683}{19683}$ 。

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} + \frac{- 1 \cdot 19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.6

在公分母上合并分子。

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 1 \cdot 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.7

化简分子。

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解题步骤 3.2.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $19683$ 。

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.7.2

从 $1$ 中减去 $19683$ 。

$S_{n} = \frac{81 (\frac{- 19682}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$S_{n} = \frac{81 \cdot - 1 \frac{19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.9

合并指数。

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解题步骤 3.2.1.9.1

提取负因数。

$S_{n} = \frac{- (81 (\frac{19682}{19683}))}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.9.2

组合 $81$ 和 $\frac{19682}{19683}$ 。

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.9.3

将 $81$ 乘以 $19682$ 。

$S_{n} = \frac{- \frac{1594242}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.10

约去 $1594242$ 和 $19683$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.10.1

从 $1594242$ 中分解出因数 $81$ 。

$S_{n} = \frac{- \frac{81 (19682)}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.10.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1.10.2.1

从 $19683$ 中分解出因数 $81$ 。

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.10.2.2

约去公因数。

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.1.10.2.3

重写表达式。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

解题步骤 3.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 3.2.2.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.2.2.3

在公分母上合并分子。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 3.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.2.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

解题步骤 3.2.2.4.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

解题步骤 3.2.2.5

将负号移到分数的前面。

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 3.2.3

将两个负数相除得到一个正数。

$S_{n} = \frac{\frac{19682}{243}}{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$S_{n} = \frac{19682}{243} \cdot \frac{3}{2}$

解题步骤 3.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.1

从 $19682$ 中分解出因数 $2$ 。

$S_{n} = \frac{2 (9841)}{243} \cdot \frac{3}{2}$

解题步骤 3.2.5.2

约去公因数。

$S_{n} = \frac{2 \cdot 9841}{243} \cdot \frac{3}{2}$

解题步骤 3.2.5.3

重写表达式。

$S_{n} = \frac{9841}{243} \cdot 3$

解题步骤 3.2.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.6.1

从 $243$ 中分解出因数 $3$ 。

$S_{n} = \frac{9841}{3 (81)} \cdot 3$

解题步骤 3.2.6.2

约去公因数。

$S_{n} = \frac{9841}{3 \cdot 81} \cdot 3$

解题步骤 3.2.6.3

重写表达式。

$S_{n} = \frac{9841}{81}$

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