初级微积分示例

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ 写为等式。

$y = x^{\frac{1}{3}} - 9$

解题步骤 2

交换变量。

$x = y^{\frac{1}{3}} - 9$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $y^{\frac{1}{3}} - 9 = x$ 。

$y^{\frac{1}{3}} - 9 = x$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$y^{\frac{1}{3}} - x = 9$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$y^{\frac{1}{3}} = 9 + x$

解题步骤 3.3

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(9 + x)}^{3}$

解题步骤 3.4

化简指数。

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解题步骤 3.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.1.1

化简 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(9 + x)}^{3}$

解题步骤 3.4.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(9 + x)}^{3}$

解题步骤 3.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(9 + x)}^{3}$

解题步骤 3.4.1.1.2

化简。

$y = {(9 + x)}^{3}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(9 + x)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

使用二项式定理。

$y = 9^{3} + 3 \cdot 9^{2} x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1

对 $9$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 729 + 3 \cdot 9^{2} x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 729 + 3 \cdot 81 x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $81$ 。

$y = 729 + 243 x + 3 \cdot 9 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2.4

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$y = 729 + 243 x + 27 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 3.5

化简 $729 + 243 x + 27 x^{2} + x^{3}$ 。

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解题步骤 3.5.1

移动 $729$ 。

$y = 243 x + 27 x^{2} + x^{3} + 729$

解题步骤 3.5.2

移动 $243 x$ 。

$y = 27 x^{2} + x^{3} + 243 x + 729$

解题步骤 3.5.3

将 $27 x^{2}$ 和 $x^{3}$ 重新排序。

$y = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$ 是否为 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

使用二项式定理。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.2.1.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.2.2

化简。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.2.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.2.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 9 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.2.4

将 $- 9$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.2.5

对 $- 9$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 81 + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.2.6

将 $81$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + {(- 9)}^{3} + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.2.7

对 $- 9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 {(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2} + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}} - 9)}^{2}$ 重写为 $(x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 ((x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.4

使用 FOIL 方法展开 $(x^{\frac{1}{3}} - 9) (x^{\frac{1}{3}} - 9)$ 。

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解题步骤 5.2.3.4.1

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 9) - 9 (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.4.2

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 (x^{\frac{1}{3}} - 9)) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.4.3

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.5.1.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.5.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.5.1.1.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.5.1.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 9 - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.5.1.2

将 $- 9$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 9 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 \cdot - 9) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.5.1.3

将 $- 9$ 乘以 $- 9$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} - 9 x^{\frac{1}{3}} + 81) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.5.2

从 $- 9 x^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $9 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 (x^{\frac{2}{3}} - 18 x^{\frac{1}{3}} + 81) + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.6

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} + 27 (- 18 x^{\frac{1}{3}}) + 27 \cdot 81 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.7

化简。

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解题步骤 5.2.3.7.1

将 $- 18$ 乘以 $27$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot 81 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.7.2

将 $27$ 乘以 $81$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 (x^{\frac{1}{3}} - 9) + 729$

解题步骤 5.2.3.8

运用分配律。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 \cdot - 9 + 729$

解题步骤 5.2.3.9

将 $243$ 乘以 $- 9$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

合并 $x - 27 x^{\frac{2}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 27 x^{\frac{2}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

将 $- 27 x^{\frac{2}{3}}$ 和 $27 x^{\frac{2}{3}}$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 + 0 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 2187 + 243 x^{\frac{1}{3}} - 2187 + 729$

解题步骤 5.2.4.1.3

从 $2187$ 中减去 $2187$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 729$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 729 - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 729$

解题步骤 5.2.4.1.5

将 $- 729$ 和 $729$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}} + 0$

解题步骤 5.2.4.1.6

将 $x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 243 x^{\frac{1}{3}} - 486 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.2.4.2

从 $243 x^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $486 x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x - 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.2.4.3

合并 $x - 243 x^{\frac{1}{3}} + 243 x^{\frac{1}{3}}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- 243 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $243 x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 9) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729)$ 。

$f (x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729) = {(x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729)}^{\frac{1}{3}} - 9$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$ 为 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} - 9$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 27 x^{2} + 243 x + 729$

初级微积分 示例

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