初级微积分示例

$\frac{6 x^{2} - 8 x + 3}{{(1 - x)}^{3}}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{1 - x}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(1 - x)}^{3}$ 。

$\frac{(6 x^{2} - 8 x + 3) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

解题步骤 1.5

约去 ${(1 - x)}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{(6 x^{2} - 8 x + 3) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

解题步骤 1.5.2

用 $6 x^{2} - 8 x + 3$ 除以 $1$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1

约去 ${(1 - x)}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

约去公因数。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{A {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

解题步骤 1.6.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

解题步骤 1.6.2

约去 ${(1 - x)}^{3}$ 和 ${(1 - x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.1

从 $(B) {(1 - x)}^{3}$ 中分解出因数 ${(1 - x)}^{2}$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

解题步骤 1.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.2.2.1

乘以 $1$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

解题步骤 1.6.2.2.2

约去公因数。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

解题步骤 1.6.2.2.3

重写表达式。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{B (1 - x)}{1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

解题步骤 1.6.2.2.4

用 $B (1 - x)$ 除以 $1$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B (1 - x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

解题步骤 1.6.3

运用分配律。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B \cdot 1 + B (- x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

解题步骤 1.6.4

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B + B (- x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

解题步骤 1.6.5

使用乘法的交换性质重写。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

解题步骤 1.6.6

约去 ${(1 - x)}^{3}$ 和 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.6.1

从 $(C) {(1 - x)}^{3}$ 中分解出因数 $1 - x$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{1 - x}$

解题步骤 1.6.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.6.2.1

乘以 $1$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{(1 - x) \cdot 1}$

解题步骤 1.6.6.2.2

约去公因数。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{(1 - x) \cdot 1}$

解题步骤 1.6.6.2.3

重写表达式。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{C {(1 - x)}^{2}}{1}$

解题步骤 1.6.6.2.4

用 $C {(1 - x)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C {(1 - x)}^{2}$

解题步骤 1.6.7

将 ${(1 - x)}^{2}$ 重写为 $(1 - x) (1 - x)$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C ((1 - x) (1 - x))$

解题步骤 1.6.8

使用 FOIL 方法展开 $(1 - x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 1.6.8.1

运用分配律。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 (1 - x) - x (1 - x))$

解题步骤 1.6.8.2

运用分配律。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x))$

解题步骤 1.6.8.3

运用分配律。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))$

解题步骤 1.6.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.6.9.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.9.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))$

解题步骤 1.6.9.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x \cdot 1 - x (- x))$

解题步骤 1.6.9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - x (- x))$

解题步骤 1.6.9.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x))$

解题步骤 1.6.9.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.9.1.5.1

移动 $x$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)))$

解题步骤 1.6.9.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x^{2}))$

解题步骤 1.6.9.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x + 1 x^{2})$

解题步骤 1.6.9.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x + x^{2})$

解题步骤 1.6.9.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - 2 x + x^{2})$

解题步骤 1.6.10

运用分配律。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C \cdot 1 + C (- 2 x) + C x^{2}$

解题步骤 1.6.11

化简。

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解题步骤 1.6.11.1

将 $C$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C + C (- 2 x) + C x^{2}$

解题步骤 1.6.11.2

使用乘法的交换性质重写。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C - 2 C x + C x^{2}$

解题步骤 1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.7.1

移动 $B$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - x B + C - 2 C x + C x^{2}$

解题步骤 1.7.2

移动 $C$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - x B - 2 C x + C x^{2} + C$

解题步骤 1.7.3

移动 $B$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A - x B - 2 C x + C x^{2} + B + C$

解题步骤 1.7.4

移动 $A$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = - x B - 2 C x + C x^{2} + A + B + C$

解题步骤 1.7.5

移动 $- 2 C x$ 。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = - x B + C x^{2} - 2 C x + A + B + C$

解题步骤 1.7.6

将 $- x B$ 和 $C x^{2}$ 重新排序。

$6 x^{2} - 8 x + 3 = C x^{2} - x B - 2 C x + A + B + C$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$6 = C$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 8 = - 1 B - 2 C$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$3 = A + B + C$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$6 = C$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

$6 = C$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $C = 6$ 。

$C = 6$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $6$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $6$ 替换 $- 8 = - 1 B - 2 C$ 中所有出现的 $C$ .

$- 8 = - 1 B - 2 \cdot 6$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- 1 B$ 重写为 $- B$ 。

$- 8 = - B - 2 \cdot 6$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

解题步骤 3.2.3

使用 $6$ 替换 $3 = A + B + C$ 中所有出现的 $C$ .

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

解题步骤 3.2.4

化简左边。

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解题步骤 3.2.4.1

去掉圆括号。

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

解题步骤 3.3

在 $- 8 = - B - 12$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $- B - 12 = - 8$ 。

$- B - 12 = - 8$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

在等式两边都加上 $12$ 。

$- B = - 8 + 12$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 8$ 和 $12$ 相加。

$- B = 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$- B = 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

解题步骤 3.3.3

将 $- B = 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $- B = 4$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- B}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{B}{1} = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

解题步骤 3.3.3.2.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

用 $4$ 除以 $- 1$ 。

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- 4$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $- 4$ 替换 $3 = A + B + 6$ 中所有出现的 $B$ .

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

解题步骤 3.4.2

化简 $3 = A - 4 + 6$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1.1

去掉圆括号。

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

解题步骤 3.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $- 4$ 和 $6$ 相加。

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

解题步骤 3.5

在 $3 = A + 2$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $A + 2 = 3$ 。

$A + 2 = 3$

$B = - 4$

$C = 6$

解题步骤 3.5.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$A = 3 - 2$

$B = - 4$

$C = 6$

解题步骤 3.5.2.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

解题步骤 3.6

求解方程组。

$A = 1 B = - 4 C = 6$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$A = 1, B = - 4, C = 6$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{1 - x}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{1}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{- 4}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{6}{1 - x}$

初级微积分 示例

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