初级微积分示例

$1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 101$

解题步骤 1

由于各项间的差值相同，因此这是一个等差数列。在本例中，数列的前一项加上 $2$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ 。

等差数列： $d = 2$

解题步骤 2

使用等差数列公式 $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ 求项数， $n$ 。

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解题步骤 2.1

将首项、末项和公差的值代入公式。

$101 = 1 + 2 (n - 1)$

解题步骤 2.2

求解 $n$ 。

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解题步骤 2.2.1

将方程重写为 $1 + 2 (n - 1) = 101$ 。

$1 + 2 (n - 1) = 101$

解题步骤 2.2.2

化简 $1 + 2 (n - 1)$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

运用分配律。

$1 + 2 n + 2 \cdot - 1 = 101$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 2 n - 2 = 101$

$1 + 2 n - 2 = 101$

解题步骤 2.2.2.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 n - 1 = 101$

$2 n - 1 = 101$

解题步骤 2.2.3

将所有不包含 $n$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.2.3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 n = 101 + 1$

解题步骤 2.2.3.2

将 $101$ 和 $1$ 相加。

$2 n = 102$

$2 n = 102$

解题步骤 2.2.4

将 $2 n = 102$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $2 n = 102$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

解题步骤 2.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 n}{2} = \frac{102}{2}$

解题步骤 2.2.4.2.1.2

用 $n$ 除以 $1$ 。

$n = \frac{102}{2}$

$n = \frac{102}{2}$

$n = \frac{102}{2}$

解题步骤 2.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.4.3.1

用 $102$ 除以 $2$ 。

$n = 51$

$n = 51$

$n = 51$

$n = 51$

$n = 51$

解题步骤 3

使用等差数列求和公式 $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ 求和。

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解题步骤 3.1

将首项、末项和项数的值代入求和公式。

$S_{n} = \frac{51}{2} (1 + 101)$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $1$ 和 $101$ 相加。

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot 102$

解题步骤 3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $102$ 中分解出因数 $2$ 。

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 (51))$

解题步骤 3.2.2.2

约去公因数。

$S_{n} = \frac{51}{2} \cdot (2 \cdot 51)$

解题步骤 3.2.2.3

重写表达式。

$S_{n} = 51 \cdot 51$

$S_{n} = 51 \cdot 51$

解题步骤 3.2.3

将 $51$ 乘以 $51$ 。

$S_{n} = 2601$

$S_{n} = 2601$

$S_{n} = 2601$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$