初级微积分示例

$f (x) = \frac{3}{x - 3} + \frac{\sqrt{4 - x^{2}} - 1}{1 - | x - 2 |}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{4 - x^{2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$4 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从不等式两边同时减去 $4$ 。

$- x^{2} \geq - 4$

解题步骤 2.2

将 $- x^{2} \geq - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $- x^{2} \geq - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 4$

解题步骤 2.3

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

解题步骤 2.4

化简方程。

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解题步骤 2.4.1

化简左边。

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解题步骤 2.4.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{4}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简 $\sqrt{4}$ 。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 2.4.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \leq | 2 |$

解题步骤 2.4.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$| x | \leq 2$

解题步骤 2.5

将 $| x | \leq 2$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 2.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 2$

解题步骤 2.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 2.5.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 2$

解题步骤 2.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.6

求 $x \leq 2$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 2$

解题步骤 2.7

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 2$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $- x \leq 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.7.1.1

将 $- x \leq 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.7.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{2}{- 1}$

解题步骤 2.7.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.7.1.3.1

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 2$

解题步骤 2.7.2

求 $x \geq - 2$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 2 \leq x < 0$

解题步骤 2.8

求解的并集。

$- 2 \leq x \leq 2$

解题步骤 3

将 $\frac{3}{x - 3}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x - 3 = 0$

解题步骤 4

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 5

将 $\frac{\sqrt{4 - x^{2}} - 1}{1 - | x - 2 |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$1 - | x - 2 | = 0$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- | x - 2 | = - 1$

解题步骤 6.2

将 $- | x - 2 | = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $- | x - 2 | = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- | x - 2 |}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{| x - 2 |}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.2

用 $| x - 2 |$ 除以 $1$ 。

$| x - 2 | = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$| x - 2 | = 1$

解题步骤 6.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x - 2 = \pm 1$

解题步骤 6.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x - 2 = 1$

解题步骤 6.4.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.4.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 1 + 2$

解题步骤 6.4.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x = 3$

解题步骤 6.4.3

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x - 2 = - 1$

解题步骤 6.4.4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.4.4.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = - 1 + 2$

解题步骤 6.4.4.2

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$x = 1$

解题步骤 6.4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3, 1$

解题步骤 7

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- 2, 1) \cup (1, 2]$

集合符号：

${x | - 2 \leq x \leq 2, x \neq 1}$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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