初级微积分示例

$f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ 写为等式。

$y = \sqrt[3]{x} + 5$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt[3]{y} + 5$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{y} + 5 = x$ 。

$\sqrt[3]{y} + 5 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$\sqrt[3]{y} = x - 5$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{3}}$ 。

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{1} = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简。

$y = {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(x - 5)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

使用二项式定理。

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.4

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ 是否为 $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5)$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

使用二项式定理。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.2.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.2.1.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.2.1.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.2.2

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.2.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.2.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 25 + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.2.5

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.2.6

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.3

将 ${(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2}$ 重写为 $(\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ((\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.4

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)$ 。

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解题步骤 5.2.3.4.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} + 5) + 5 (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.4.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.4.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.5.1.1

乘以 $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ 。

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解题步骤 5.2.3.5.1.1.1

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.5.1.1.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.5.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.5.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.5.1.2

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.5.1.3

将 $5$ 移到 $\sqrt[3]{x}$ 的左侧。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 5 \cdot \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.5.1.4

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.5.2

将 $5 \sqrt[3]{x}$ 和 $5 \sqrt[3]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 10 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.6

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 (10 \sqrt[3]{x}) - 15 \cdot 25 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.7

化简。

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解题步骤 5.2.3.7.1

将 $10$ 乘以 $- 15$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 15 \cdot 25 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.7.2

将 $- 15$ 乘以 $25$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

解题步骤 5.2.3.8

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 75 \cdot 5 - 125$

解题步骤 5.2.3.9

将 $75$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

合并 $x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $15 \sqrt[3]{x^{2}}$ 中减去 $15 \sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 0 + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

解题步骤 5.2.4.1.3

将 $- 375$ 和 $375$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} + 0 + 75 \sqrt[3]{x} - 125$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x} - 125$

解题步骤 5.2.4.1.5

从 $125$ 中减去 $125$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 0 - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.1.6

将 $x + 75 \sqrt[3]{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.2

从 $75 \sqrt[3]{x}$ 中减去 $150 \sqrt[3]{x}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x - 75 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 5.2.4.3

合并 $x - 75 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- 75 \sqrt[3]{x}$ 和 $75 \sqrt[3]{x}$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$ 。

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

解题步骤 5.3.3

去掉圆括号。

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

解题步骤 5.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.1

使每一项与二项式定理公式中的项相匹配。

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (5 x^{2}) + 3 \cdot (5^{2} x) - 1 \cdot 5^{3}} + 5$

解题步骤 5.3.4.2

使用二项式定理来对 $x^{3} - 3 \cdot 5 x^{2} + 3 \cdot 5^{2} x - 1 \cdot 5^{3}$ 进行因式分解。

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3}} + 5$

解题步骤 5.3.4.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x - 5 + 5$

解题步骤 5.3.5

合并 $x - 5 + 5$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x + 0$

解题步骤 5.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ 为 $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

初级微积分 示例

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