初级微积分示例

$f (x) = \frac{3^{x} + 2}{e^{2 x} + 1}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{3^{x} + 2}{e^{2 x} + 1}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to - \infty} \frac{3^{x} + 2}{e^{2 x} + 1}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3^{x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + 1}$

解题步骤 3.1.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3^{x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + 1}$

解题步骤 3.2

因为指数 $x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $3^{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + 1}$

解题步骤 3.3

计算极限值。

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解题步骤 3.3.1

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + 1}$

解题步骤 3.3.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 1}$

解题步骤 3.4

因为指数 $2 x$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{2 x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0 + 2}{0 + lim_{x \to - \infty} 1}$

解题步骤 3.5

计算极限值。

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解题步骤 3.5.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{0 + 2}{0 + 1}$

解题步骤 3.5.2

化简答案。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2}{0 + 1}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{1}$

解题步骤 3.5.2.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = 2$

解题步骤 5

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = 2$

不存在斜渐近线

解题步骤 7

初级微积分 示例

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