初级微积分示例

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $\frac{1}{3}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = \frac{1}{3}$

解题步骤 2

级数 $S_{n}$ 的和可以使用公式 $S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 进行计算。对于无限几何级数的和 $S_{\infty}$ ，由于 $n$ 趋于 $\infty$ 、 $1 - r^{n}$ 趋于 $1$ ，因此， $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 趋于 $\frac{a}{1 - r}$ 。

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

解题步骤 3

值 $a = 1$ 和 $r = \frac{1}{3}$ 可以代入方程 $S_{\infty}$ 。

$S_{\infty} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

解题步骤 4

化简方程以求 $S_{\infty}$ 。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$S_{\infty} = \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.2

在公分母上合并分子。

$S_{\infty} = \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

解题步骤 4.1.3

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$S_{\infty} = \frac{1}{\frac{2}{3}}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$S_{\infty} = 1 (\frac{3}{2})$

解题步骤 4.3

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$S_{\infty} = \frac{3}{2}$

初级微积分 示例

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