初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$ 无定义。

$x = - 1$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 5.1

化简表达式。

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解题步骤 5.1.1

从 $x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 x + 3}$

解题步骤 5.1.1.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{3 x + 3}$

解题步骤 5.1.1.3

从 $x \cdot x + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x + 2)}{3 x + 3}$

解题步骤 5.1.2

从 $3 x + 3$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x (x + 2)}{3 (x) + 3}$

解题步骤 5.1.2.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x (x + 2)}{3 (x) + 3 (1)}$

解题步骤 5.1.2.3

从 $3 (x) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{x (x + 2)}{3 (x + 1)}$

解题步骤 5.2

展开 $x (x + 2)$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{3 (x + 1)}$

解题步骤 5.2.2

将 $x$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

解题步骤 5.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

解题步骤 5.2.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

解题步骤 5.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 1} + 2 x}{3 (x + 1)}$

解题步骤 5.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

解题步骤 5.3

展开 $3 (x + 1)$ 。

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解题步骤 5.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

解题步骤 5.4

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

解题步骤 5.5

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

解题步骤 5.6

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 5.7

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + x$ 中的所有符号

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 5.8

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$

解题步骤 5.9

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$

解题步骤 5.10

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$

解题步骤 5.11

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

解题步骤 5.12

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 1$ 中的所有符号

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

解题步骤 5.13

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$
							-	$1$

解题步骤 5.14

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{x}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 x + 3}$

解题步骤 5.15

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 1$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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