初级微积分示例

$f (x) = \sqrt{x - \frac{4}{x}}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x - \frac{4}{x}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - \frac{4}{x} \geq 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x, 1$

解题步骤 2.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 2.2

将 $x - \frac{4}{x} \geq 0$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 2.2.1

将 $x - \frac{4}{x} \geq 0$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$x \cdot x - \frac{4}{x} x \geq 0 x$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} - \frac{4}{x} x \geq 0 x$

解题步骤 2.2.2.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

将 $- \frac{4}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$x^{2} + \frac{- 4}{x} x \geq 0 x$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

约去公因数。

$x^{2} + \frac{- 4}{x} x \geq 0 x$

解题步骤 2.2.2.1.2.3

重写表达式。

$x^{2} - 4 \geq 0 x$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} - 4 \geq 0$

解题步骤 2.3

求解不等式。

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解题步骤 2.3.1

在不等式两边同时加上 $4$ 。

$x^{2} \geq 4$

解题步骤 2.3.2

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{4}$

解题步骤 2.3.3

化简方程。

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解题步骤 2.3.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.3.3.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \geq \sqrt{4}$

解题步骤 2.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.2.1

化简 $\sqrt{4}$ 。

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解题步骤 2.3.3.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| x | \geq \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 2.3.3.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \geq | 2 |$

解题步骤 2.3.3.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$| x | \geq 2$

解题步骤 2.3.4

将 $| x | \geq 2$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.3.4.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 2.3.4.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \geq 2$

解题步骤 2.3.4.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 2.3.4.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \geq 2$

解题步骤 2.3.4.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \geq 2 & x \geq 0 \\ - x \geq 2 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.3.5

求 $x \geq 2$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$x \geq 2$

解题步骤 2.3.6

将 $- x \geq 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $- x \geq 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{2}{- 1}$

解题步骤 2.3.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \leq \frac{2}{- 1}$

解题步骤 2.3.6.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{2}{- 1}$

解题步骤 2.3.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.6.3.1

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$x \leq - 2$

解题步骤 2.3.7

求解的并集。

$x \leq - 2$ 或 $x \geq 2$

解题步骤 3

将 $\frac{4}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

集合符号：

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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