初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$ 无定义。

$x = 1$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 5.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

解题步骤 5.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 5.1.3

重写多项式。

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

解题步骤 5.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 5.2

展开 ${(x - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\frac{x^{3}}{(x - 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{x^{3}}{x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

解题步骤 5.2.4

运用分配律。

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.5

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3}}{x^{1 + 1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

解题步骤 5.2.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x + 1}$

解题步骤 5.2.11

从 $- 1 x$ 中减去 $1 x$ 。

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 5.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 5.4

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 5.5

将新的商式项乘以除数。

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

解题步骤 5.6

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 2 x^{2} + x$ 中的所有符号

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

解题步骤 5.7

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

解题步骤 5.8

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

解题步骤 5.9

将被除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

解题步骤 5.10

将新的商式项乘以除数。

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

解题步骤 5.11

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{2} - 4 x + 2$ 中的所有符号

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

解题步骤 5.12

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

解题步骤 5.13

最终答案为商加上余数除以除数。

$x + 2 + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 5.14

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = x + 2$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 1$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = x + 2$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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