初级微积分示例

$(3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$

解题步骤 1

将 $(3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$ 书写为一个函数。

$f (x) = (3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$

解题步骤 2

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 3

求定义的补集。

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解题步骤 3.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = (3 - 2 (x + h) + 2 {(x + h)}^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

运用分配律。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 {(x + h)}^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 ((x + h) (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.3.1

运用分配律。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x (x + h) + h (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.3.2

运用分配律。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.3.3

运用分配律。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.2.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.4.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 3.1.2.1.4.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.4.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.5

运用分配律。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.7.1

运用分配律。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.7.2

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 ((x + h) (x + h)))$

解题步骤 3.1.2.1.7.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.7.3.1

运用分配律。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x (x + h) + h (x + h)))$

解题步骤 3.1.2.1.7.3.2

运用分配律。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)))$

解题步骤 3.1.2.1.7.3.3

运用分配律。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))$

解题步骤 3.1.2.1.7.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.2.1.7.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.7.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h))$

解题步骤 3.1.2.1.7.4.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}))$

解题步骤 3.1.2.1.7.4.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 3.1.2.1.7.4.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}))$

解题步骤 3.1.2.1.7.4.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}))$

解题步骤 3.1.2.1.7.5

运用分配律。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.7.6

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.8

运用分配律。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x) - (4 h) + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.9

化简。

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解题步骤 3.1.2.1.9.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - (4 h) + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.9.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.9.3

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.9.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - (6 h x) - (3 h^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.9.5

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 (h x) - (3 h^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.9.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 (h x) - 3 h^{2}$

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

解题步骤 3.1.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$f (x + h) = - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

解题步骤 3.1.2.2.2

从 $- 2 x$ 中减去 $4 x$ 。

$f (x + h) = - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 4 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

解题步骤 3.1.2.2.3

从 $- 2 h$ 中减去 $4 h$ 。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

解题步骤 3.1.2.2.4

从 $2 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$f (x + h) = - x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 6 h x - 3 h^{2}$

解题步骤 3.1.2.2.5

从 $4 h x$ 中减去 $6 h x$ 。

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 3 h^{2}$

解题步骤 3.1.2.2.6

从 $2 h^{2}$ 中减去 $3 h^{2}$ 。

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$ 。

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$

解题步骤 3.2

重新排序。

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解题步骤 3.2.1

移动 $- 6 x$ 。

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 h - 6 x + 8$

解题步骤 3.2.2

移动 $- x^{2}$ 。

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

解题步骤 3.2.3

将 $- 2 h x$ 和 $- h^{2}$ 重新排序。

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

解题步骤 3.3

求定义的补集。

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

$f (x) = - x^{2} - 6 x + 8$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

$f (x) = - x^{2} - 6 x + 8$

解题步骤 4

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 - (- x^{2} - 6 x + 8)}{h}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 - - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

解题步骤 5.1.2

化简。

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解题步骤 5.1.2.1

乘以 $- - x^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + 1 x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

解题步骤 5.1.2.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} + 6 x - 1 \cdot 8}{h}$

解题步骤 5.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} + 6 x - 8}{h}$

解题步骤 5.1.3

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h - 6 x + 8 + 0 + 6 x - 8}{h}$

解题步骤 5.1.4

将 $- h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h - 6 x + 8 + 6 x - 8}{h}$

解题步骤 5.1.5

将 $- 6 x$ 和 $6 x$ 相加。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 0 + 8 - 8}{h}$

解题步骤 5.1.6

将 $- h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 8 - 8}{h}$

解题步骤 5.1.7

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 0}{h}$

解题步骤 5.1.8

将 $- h^{2} - 2 h x - 6 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h}{h}$

解题步骤 5.1.9

从 $- h^{2} - 2 h x - 6 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 5.1.9.1

从 $- h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h) - 2 h x - 6 h}{h}$

解题步骤 5.1.9.2

从 $- 2 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) - 6 h}{h}$

解题步骤 5.1.9.3

从 $- 6 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot - 6}{h}$

解题步骤 5.1.9.4

从 $h (- h) + h (- 2 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h - 2 x) + h \cdot - 6}{h}$

解题步骤 5.1.9.5

从 $h (- h - 2 x) + h \cdot - 6$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h - 2 x - 6)}{h}$

解题步骤 5.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (- h - 2 x - 6)}{h}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $- h - 2 x - 6$ 除以 $1$ 。

$- h - 2 x - 6$

解题步骤 5.2.2

将 $- h$ 和 $- 2 x$ 重新排序。

$- 2 x - h - 6$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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