初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 6}{- 4 x - 8}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{2} + x - 6}{- 4 x - 8}$ 无定义。

$x = - 2$

解题步骤 2

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 3

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 4

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 6$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $1$ 。

$- 2, 3$

解题步骤 5.1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{- 4 x - 8}$

解题步骤 5.1.2

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

从 $- 4 x - 8$ 中分解出因数 $4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x) - 8}$

解题步骤 5.1.2.1.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x) + 4 (- 2)}$

解题步骤 5.1.2.1.3

从 $4 (- x) + 4 (- 2)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x - 2)}$

解题步骤 5.1.2.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x) - 2)}$

解题步骤 5.1.2.3

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x) - 1 (2))}$

解题步骤 5.1.2.4

从 $- (x) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x + 2))}$

解题步骤 5.1.2.5

重写负数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.5.1

将 $- (x + 2)$ 重写为 $- 1 (x + 2)$ 。

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- 1 (x + 2))}$

解题步骤 5.1.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2

展开 $- (x - 2) (x + 3)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

对 $x - 2$ 取反。

$\frac{- (x - 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{(- x + 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{- x (x + 3) + 2 (x + 3)}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.4

运用分配律。

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 3 + 2 (x + 3)}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.5

运用分配律。

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.6

移动 $x$ 。

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.7

提取负因数。

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.12

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.13

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.14

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.15

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 6}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.2.16

将 $- 3 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 (x + 2)}$

解题步骤 5.3

展开 $4 (x + 2)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

运用分配律。

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 x + 4 \cdot 2}$

解题步骤 5.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 x + 8}$

解题步骤 5.4

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$4 x$

$8$

$x^{2}$

$x$

$6$

解题步骤 5.5

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $4 x$ 。

				-	$\frac{x}{4}$
	$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$

解题步骤 5.6

将新的商式项乘以除数。

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 5.7

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 5.8

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$

解题步骤 5.9

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$

解题步骤 5.10

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $4 x$ 。

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$

解题步骤 5.11

将新的商式项乘以除数。

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					+	$x$	+	$2$

解题步骤 5.12

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x + 2$ 中的所有符号

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					-	$x$	-	$2$

解题步骤 5.13

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					-	$x$	-	$2$
							+	$4$

解题步骤 5.14

最终答案为商加上余数除以除数。

$- \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4 x + 8}$

解题步骤 5.15

将解分解成多项式部分和余项。

$- \frac{x}{4} + \frac{1}{4} - \frac{4}{- 4 x - 8}$

解题步骤 5.16

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 2$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 7

初级微积分 示例

初级微积分示例