初级微积分示例

$f (x) = \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$1 - \sin (x) = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \sin (x) = - 1$

解题步骤 2.2

将 $- \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $- \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\sin (x) = 1$

$\sin (x) = 1$

$\sin (x) = 1$

解题步骤 2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (1)$

解题步骤 2.4

化简右边。

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解题步骤 2.4.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 2.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6.2

合并分数。

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解题步骤 2.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 2.6.3

化简分子。

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解题步骤 2.6.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 2.6.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

$x = \frac{π}{2}$

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

$2 π$

解题步骤 2.8

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

集合符号：

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$